Halbwertszeit berechnen mit Prozent Angaben
Hallo Leute, ich soll als Mathe Hausaufgabe die Halbwertszeit von verschiedenen radioaktiven Stoffen berechnen. Als Abgabe habe ich jeweils nur den Stoff und wie viel Prozent davon täglich zerfallen (bei manchen ist auch wie viel wöchentlich oder jährlich zerfallen gegeben). Ich hab überhaupt keinen Plan, wie das gehen soll, ich habs jetzt mit hochrechnen von z. B. 4,7% täglich auf 50% probiert, aber das geht ja nicht. Kann mir einer helfen?? Danke nummer100
2 Antworten
Wenn täglich x % des Stoffes zerfallen, dann sind nach 1 Tag noch ( 100 - x ) % des Stoffes übrig, das heißt: N ( 1 ) = N0 * (100 - x ) / 100
Aus der Formel für den exponentiellen Zerfall
N ( t ) = N0 * e ^ ( - lambda * t )
lässt sich damit die Zerfallskonstante lambda berechnen, indem man t = 1 setzt:
<=> N ( 1 ) / N0 = e ^ - lambda
[Aus der fett gesetzten Formel von oben folgt: N ( 1 ) / N0 = ( 100 - x ) / 100, also:]
<=> ( 100 - x ) / 100 = e ^ - lambda
<=> - lambda = ln ( ( 100 - x ) / 100 )
Somit lautet das Zerfallgesetz:
N ( t ) = N0 * e ^ ( ln ( ( 100 - x ) / 100 ) * t )
Die Halbwertszeit T ergibt sich daraus, indem man N ( T ) = ( 1 / 2 ) * N0 setzt und nach T auflöst:
( 1 / 2 ) * N0 = N0 * e ^ ( ln ( ( 100 - x ) / 100 ) * T )
<=> 1 / 2 = e ^ ( ln ( ( 100 - x ) / 100 ) * T )
<=> ln ( 1 / 2 ) = ln ( ( 100 - x ) / 100 ) * T
<=> T = ln ( 1 / 2 ) / ln ( ( 100 - x ) / 100 )
Wenn also z.B. 4,7 % eines Stoffes täglich zerfallen, dann beträgt die Halbwertszeit:
T = ln ( 1 / 2 ) / ln ( 95,3 / 100 ) = 14,398... Tage
Wenn der prozentuale Zerfall in anderen Zeiteinheiten (Wochen, Jahre, ... ) angegeben ist, dann rechnet man genauso. Die Halbwertszeit hat dann aber natürlich ebenfalls die jeweilige Zeiteinheit.
einfach in die formel: Kn = (K0 * p/100%)^n einsetzen
K0 ist der anfangsstoff p ist der prozentsatz n ist die dauer
..., wobei p = 0,5 (wegen "Halbwert....") und n= (t/T)
t ist die jeweils gegebene Zeit und T ist die zu ermittelnde Halbwertzeit.
...und weil die gesuchte Größe im Exponenten steht, mußt du beim Auflösen logarithmieren.
Viel Erfolg!