Glatte Kurve?

Hallo

Wenn die Ableitung stetig ist, dann ist es eine glatte Kurve?

Answer 1

[mihisu]

Nein, üblicherweise fordert man für eine glatte Kurve zusätzlich noch, dass die Ableitung nirgends verschwindet.

============

Eine Kurve im ℝⁿ mit Parameterdarstellung

$f :\ I\to \mathbb{R},\quad t\mapsto \begin{pmatrix}f_1(t)\\\vdots\\f_n(t)\end{pmatrix}$

heißt glatt, wenn

• f stetig differenzierbar ist, also f′ existiert und stetig ist,

und

• $f'(t)\ne \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\text{ für alle }t\in I\text{ ist.}$

============

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Kurve

============

Beispiel:

Die durch

$f:\ [-1, 1],\quad t\mapsto \begin{pmatrix}t\cdot\left\lvert t\right\rvert\\t^2\end{pmatrix}$

gegebene Kurve ist stetig differenzierbar, aber nicht glatt. (Die Ableitung verschwindet bei t = 0.)