ist 1/x eine glatte Funktion?

eigentlich ja nicht, sie ist ja bei x= 0 nicht definiert also nicht differenzierbar, oder?

die ableitung ist ja bei x= 0 auch nicht berechenbar.

Answer 1

[mihisu]

Eine glatte Funktion muss ja auch nur auf ihrem Definitionsbereich beliebig oft differenzierbar sein. Das, was außerhalb des Definitionsbereiches liegt, ist egal.

Die Funktion

$\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\right\rbrace\to\mathbb{R},\ x\mapsto\frac{1}{x}$

ist tatsächlich eine glatte Funktion. [Denn der Definitionsbereich ist eine nicht-leere, offene Teilmenge der reellen Zahlen und die Funktion ist beliebig oft differenzierbar.]

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Jedoch ist hingegen „1/x“ keine Funktion, sondern höchstens ein Funktionsterm. (Da fehlen also insbesondere Angaben zu Definitionsmenge und Zielmenge.) Und da es keine Funktion ist, ist es auch keine glatte Funktion.

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Glatt ist sie nur wenn sie unendlich oft stetig differenzierbar ist. Übersetzt bedeutet das, dass jede Ableitung keine Lücken hat.
1/x hat wie du schon sagst bei x=0 eine Polstelle (die Lücke), ist dort also nicht definiert und somit nicht definiert, somit dort auch nicht stetig differenzierbar (hat dort auch eine Lücke). Das ganze gilt aber nur wenn 0 auch im Definitionsbereich ist, was du aber nicht angibst, also wir auch nicht weiterhelfen können.

Ich würde empfehlen etwas an der Fachsprache arbeiten, denn so sind die Aussagen problematisch. ;)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium