Wie herleiten ob die 2. Ableitung dieser Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist?
Die Funktion f(x) soll genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt haben und vierten grades sowie ganzrational sein.
Ich weiß vom zeitaufwendigem, graphischem Ableiten, dass die zweote Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel ist. Meine Frage ist, ob man sich das nicht schneller sich herleiten kann, wie die zweite Ableitungs- Funktion aussieht
Schneller, weil in der Klausur, die ich am Freitag schreibe, jede Sekunde zählt
1 Antwort
Das ergibt sich bereits aus der Funktion f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e.
Sie soll einen Tiefpunkt und zwei Hochpunkte haben. Da zwei Hochpunkte nicht benachbart sein können, muss der Tiefpunkt zwischen den Hochpunkten liegen. Links vom linken Hochpunkt und rechts von rechten Hochpunkt muss die Funktion dann stetig fallen und negative Werte annehmen. Das geht nur wenn a<0 ist (also negativ).
Da in der zweiten Ableitung (f" = 12ax²+6bx+2c) das Vorzeichen des Terms mit x² die Öffnung de Parabel bestimmt, ist diese Parabel nach unten geöffnet (da negatives Vorzeichen).
Dazu benötigt man nur etwas Abstraktionsvermögen und das Wissen, wie sich die Vorzeichen beim Ableiten weitervererben.