Frage von DepravedGirl, 114

Gibt es eine Regel welche Vorzeichen sich umdrehen?

(x - 1) * (x - 2) * (x - 3) * (x - 4) = x ^ 4 - 10 * x ^ 3 + 35 * x ^ 2 - 50 * x + 24

Nun drehe ich die Vorzeichen aller Linearfaktoren um -->

(x + 1) * (x + 2) * (x + 3) * (x + 4) = x ^ 4 + 10 * x ^ 3 + 35 * x ^ 2 + 50 * x + 24

Es haben sich also nicht alle Vorzeichen des ausmultiplizierten Polynoms umgedreht.

Wodurch wird es bestimmt, welche Vorzeichen von welchen Polynomkoeffizienten sich umdrehen und welche nicht ?

Vor allem wenn es nicht notwendigerweise 4 Linearfaktoren sind, sondern zum Beispiel 2 Linearfaktoren, 6 Linearfaktoren, 10 Linearfaktoren, 24 Linearfaktoren usw.

Gibt es da eine Regel / Gesetzmäßigkeit ?


Ich frage nach, weil ich durch reinen Zufall entdeckt habe, dass man Gleichungen die man auf die Fixpunktform bringen kann, um Fixpunktiteration durchzuführen, die gegen bestimmte Nullstellen nicht konvergieren wollen, überlisten kann, indem man einige Vorzeichen der Gleichung umdreht. Diese Fixpunktgleichungen konvergieren dann plötzlich gegen die Lösung mit dem umgedrehten Vorzeichen, obwohl sie vorher absolut nicht konvergieren wollten.

Nun suche ich nach einer Regel / Gesetzmäßigkeit, dadurch ist mein Frage von oben motiviert.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ralphdieter, 26

Polynome:

Beim Ausmultiplizieren von f(x) = (x-x₁)·(x-x₂)·…·(x-xₙ) erhältst Du viele Summanden der Form (-x₁)·(-x₂)·… · xⁱ, wobei der Faktor immer aus genau (n-i) negierten Nullstellen besteht.

Drehst Du all deren Vorzeichen um, dann hat das für gerades (n-i) keine Auswirkungen: (-1)ⁿ⁻ⁱ=+1. Nur bei ungeradem (n-i) dreht sich das Vorzeichen um: (-1)ⁿ⁻ⁱ=-1. Wenn Du zum Schluss die Summanden mit xⁱ zusammenfasst, weißt Du, dass entweder alle Faktoren oder keiner davon das Vorzeichen gewechselt haben. Also landest Du entweder bei +a_i·xⁱ (falls (n-i) gerade) oder bei -a_i·xⁱ (falls (n-i) ungerade).

Unterm Strich heißt das: Das Vorzeichen von xⁿ bleibt, das von xⁿ⁻¹ wechselt, und so geht es alternierend weiter. Da ist kein Hexenwerk dabei.

Iterationen:

Eine Zahlenfolge der Form xₙ₊₁=f(xₙ) kann

  • gegen einen Fixpunkt von f konvergieren
  • in einen zyklischen Attraktor münden
  • völlig chaotisch verlaufen.

Letzteres kann man schon bei xₙ₊₁=c·xₙ(1-xₙ) für c≅3.8 beobachten.

Das Newton-Verfahren konvergiert, wenn der Startwert "nahe genug" an der Nullstelle liegt. Was aber "nahe genug" genau bedeutet, ist ein Thema der Chaosforschung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren#Konvergenzbetrachtungen
https://de.wikipedia.org/wiki/Julia-Menge#Hintergrund

Eines ist aber klar: Die Folge xₙ₊₁=-f(-xₙ) konvergiert für -x₀ genau dann, wenn xₙ₊₁=f(xₙ) für +x₀ konvergiert. Mit diesem Trick kann man also sicher keine Konvergenzprobleme lösen. Zu Deinem Problem mit f(x)=√(1±0.167x³) schreibe ich an anderer Stelle mehr.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 53

Es drehen sich die nicht um, die eine gerade Anzahl von Multiplikationen durchlaufen, die anderen nicht. Diesen Grundsatz kann man auch bei Polynomen nicht überlisten.

Oder habe ich das was falsch verstanden?

Kommentar von DepravedGirl ,

Erst mal recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Es ging darum, wenn man alle Vorzeichen von allen Linearfaktoren ändert.

Eine Regelmäßigkeit habe ich schon gefunden -->

Wenn alle Nullstellen positiv sind, und daher alle Linearfaktoren innen drin ein Minuszeichen haben, und man dreht sie alle zu Plus um dann gilt folgendes -->

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Bei einer ungeraden Anzahl von Linearfaktoren drehen sich die Vorzeichen vor allen geraden Potenzen des ausmultiplizierten Polynoms einschließlich vor x ^ 0 um.

Bei einer geraden Anzahl von Linearfaktoren drehen sich die Vorzeichen vor allen ungeraden Potenzen des ausmultiplizierten Polynoms um.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Ob das auch gilt, wenn alle Nullstellen negativ sind, und somit die Linearfaktoren ein Pluszeichen in der Mitte haben, und auch gilt, bei abwechselnd positiven und negativen Nullstellen / Linearfaktoren muss ich noch untersuchen.

Gekommen bin ich auf das ganze hierdurch, siehe dort meine Antwort, wenn du möchtest -->

https://www.gutefrage.net/frage/mathe--2unbekannte-aber-horner-schema-nicht-anwe...

Kommentar von DepravedGirl ,

Vereinfachte Erklärung zu dieser Webseite -->

x = √(1 + 0.167 * x ^ 3)

konvergiert nicht nach x = -0.930336724268325, selbst mit dem Startwert x = -1 nicht !

x = √(1 - 0.167 * x ^ 3)

konvergiert mit dem Startwert x = -1 und anderen Startwerten nach x = 0.930336724268325

Das ist die ursprünglich exakte Lösung, nur mit umgedrehtem Vorzeichen.

Die veränderte Fixpunktgleichung zur Iteration ist durch die korrekte Vorzeichenänderung der Koeffizienten der ursprünglichen Gleichung zustande gekommen, und um diese Vorzeichenänderung dreht sich meine Frage.

Hätte ich eventuell vielleicht alles von Anfang an mit dabei schreiben sollen.

Kommentar von ralphdieter ,

x=f(x) konvergiert nicht, aber x=f(-x) konvergiert

Na und? f(x)-x und f(-x)-x sind doch zwei völlig verschiedene Funktionen mit unterschiedlichen Nullstellen.

Und f(x)=√(1+0.167x³) ist nichtnegativ, kann also gar keine negativen Fixpunkte haben.

Eins sieht man aber sofort: x=-√(1+0.167x³) wird für x₀=+1 gegen -0.93… konvergieren (falls Deine zweite Konvergenzaussage zutrifft).

Kommentar von Volens ,

Du machst dir wirklich viele Gedanken zu verborgenen Ecken der Mathematik, die ich ziemlich wenig durchstreife.
Behalte deine mathematische Neugier"

Kommentar von DepravedGirl ,

Mir macht Mathematik Spaß und ich weiß, dass sie dir auch Spaß macht ;-))

Kommentar von ralphdieter ,

Behalte deine mathematische Neugier

Nicht behalten, sondern weiter teilen!!!  :-)

Kommentar von ralphdieter ,

Ob das auch gilt, wenn alle Nullstellen negativ sind

Aber sicher doch! Die ganze Argumentation basiert nur darauf, wann das Vorzeichen wechselt, ein Faktor also effektiv mit (-1) multipliziert wird. Das klappt mit jeder Mischung aus positiven und negativen Nullstellen — und sogar mit der 0.

Betrachte es mal so: Das Polynom f(-x) hat genau die negierten Nullstellen von f. In der Summendarstellung erzeugt dieses (-x) bei ungeraden Exponenten einen Vorzeichenwechsel (gegenüber f). Bei geraden Exponenten passiert wegen (-x)²ⁱ=x²ⁱ nichts. Also:

  • kein Vorzeichenwechsel bei x⁰, x², x⁴, …
  • Vorzeichenwechsel bei x¹, x³, …

Dumm nur, dass die Summendarstellung von f(-x) bei ungeraden Polynomen jetzt mit -xⁿ beginnt. Will man das Minus weghaben, muss man alles nochmal mit (-1) durchmultiplizieren. Das führt dann zu einem Vorzeichenwechsel bei den geraden Exponenten.

Unter einen Hut gebracht, heißt das:

  • kein Vorzeichenwechsel bei xⁿ, xⁿ⁻², xⁿ⁻⁴, …
  • Vorzeichenwechsel bei xⁿ⁻¹, xⁿ⁻³, …
Kommentar von DepravedGirl ,

@ ralphdieter

Vielen Dank !

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 39

TIPP ; Probieren geht über studieren

setze einfach (x - a1) * (x -a2) und rechne dieses aus

dann setze (x -a1) * (x -a2) * (x -a3)

Dann überprüfe dies auf Gesetzmäßigkeiten.Findest du eine Gesetzmäßigkeit,kannst du dies vermarkten !!

Beispiel : Scheitelkoodinaten der Parabel

allgemeine Form y=f(x)=a2 * a^2 +a1 *x +ao

Scheitelkoordinaten x= - (a1)/(2 *a2) und y= - (a1)^2 /(4 *a2) +ao

Die Formeln für die Scheitelkoordinaten leiten sich her .durch die quadratische Ergänzung.

Vorteil ; man kann immer zwischen der allgemeinen Form 

y=a2 *x^2 +a1*x+ao und der Scheitelform wechseln y=a2 *(x +b9^2 +C

x=- b und C=y 

ist aber schon bekannt !!

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für deine Antwort !

Vermarkten will ich mathematische Erkenntnisse nicht, aber trotzdem danke ;-))

Kommentar von fjf100 ,

Wieso nicht ? Wir leben im Kapitalismus und alle verdienen Geld !

Siehe Immmobilienhaie !! Warum sollst du nicht für deine Leistungen für die Allgemeinheit gerecht bezahlt werden ?Alle profitieren von deiner Arbeit !

Das Leben ist schließlich ziemlich teuer !! Eine 50 m^2 Eigentumswohnung ca. 150000 Euro .

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, du hast recht, heutzutage dreht sich wirklich alles nur noch ums Geld verdienen und nichts anderes mehr ...

Das merke ich auch in meiner Familie, meinem Bekanntenkreis, meinem sozialen Umfeld usw.

Selbst in der Freizeit sollte man, wenn man mit der Gesellschaft / System mitmacht, am besten noch so viel Geld verdienen wie möglich, Geld verdienen nur im Beruf ist scheinbar noch zu wenig.

GF ist da wirklich so etwas wie ein Verbrechen gegen den Kapitalismus, weil man hier seine Freizeit hergibt ohne Geld zu verdienen.

Kommentar von fjf100 ,

Ich bin 55 Jahre alt und habe sehr viel Lebenserfahrung.Du hast mit deinen Beiträgen sehr vielen Schülern umsonst geholfen !!

Die Lehrer verdienen als Beamte ca. 50000 Euro im Jahr und die Schüler werden dabei noch schickaniert.

Ich habe mir ein Mathematikbuch vor ca. 20 Jahren gekauft.Kusch/Rosenthal ,Girardet Verlag Essen 1985

Integralrechung Lösungsbuch mit 650 Seiten durchgerechnete Beispielaufgaben.

Im Buchladen sagte man mir :"Wir dürfen Ihnen dieses Buch eigentlich gar nicht verkaufen",die Lehrer wollen das nicht !!

Ich habe mich dann mit den Buchladen privat,ohne die Lehrer,finanziell geeinigt !! 

TIPP :Wenn du für deine Arbeit etwas Geld verdienst,für einen Kaffee und ein Stück Kuchen ,damit du dir einen schönen Tag machen kannst,dass ist das bestimmt keine Schande !

Kommentar von DepravedGirl ,

1.) Ich mochte viele Lehrer an dem Gymnasium wo ich war auch nicht, und ich war froh als meine Schulzeit um war und ich manche von denen nicht mehr ertragen musste.

2.) Ich habe mir mal ein Chemie-Buch gekauft, das Lösungsbuch habe ich nicht erhalten mit dem Hinweis das dürfe nur an Lehrkräfte abgegeben werden, ich weiß also wovon du redest.

3.) Die Buchreihe "Kusch" kenne ich auch, die ist gut.

4.) Ich habe auch Mathe-Bücher zu hause.

5.) Ich hoffe dass GF kostenlos bleibt, für meine Beiträge hier auf GF würde ich gar nicht abkassieren wollen, selbst wenn das zur Debatte stünde.

6.) Kaffee und Kuchen kann ich mir auch so leisten :-)), am Hungertuch nage ich nicht :-))

7.) Eine Schande ist es nicht so viel Geld wie möglich verdienen zu wollen; ich wollte kein moralisches Urteil abgeben, auch wenn das vielleicht so geklungen hat.

Meine Prioritäten sind aber anders gelagert. Freizeit ist bei mir auch wirklich Freizeit.

8.) Meine Beiträge hier auf GF verfasse ich aus Spaß, und um in Übung zu bleiben, ich betreibe Mathematik nur als kleines Freizeithobby und sonst gar nichts, und natürlich aus Interesse an der Mathematik, ab und zu programmiere ich auch mal ein kleines Mathe-Programm.

9.) Ich bin mir darüber bewusst, dass ich auch teuer bezahlten Nachhilfeunterricht an Schüler geben könnte, aber mir ist GF lieber als das.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 45

Nicht zu vergessen, auch bei ungeraden Anzahlen von Linearfaktoren, also 3, 5, 11, 17 Linearfaktoren zum Beispiel.


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