Gibt es einen ganzzahligen kleinsten gemeinsamen Vielfachen von pi?
Hi Leute, gibt es denn einen ganzzahligen kleinsten gemeinsamen Vielfachen von pi mit einer natürlichen Zahl? Gibt es so etwas? Wenn ja, wie lautet die Zahl bzw. wie kann man sie ermitteln?
9 Antworten
Als ganzzahlige Vielfache von π bezeichnet man trivialerweise Zahlen wie 2π, 3π oder −6π. Sie sind ganzzahlige Vielfache von π, aber natürlich selbst keine ganzen Zahlen.
Da π keine rationale Zahl ist, kann man sie durch Multiplikationen mit anderen ganzen Zahlen nicht selbst ganzzahlig machen; bei rationalen Zahlen funktioniert das, denn 21⁄55≈0.3818 kann man offenbar durch Multiplikation mit 55 in die ganze Zahl 21 überführen.
Auch √2 ist nicht rational. Aber sein Quadrat ist es (sogar ganzzahlig), daher kann man sagen, daß man aus √2 durch Quadrieren eine ganze Zahl erhält. Kompliziertere Ausdrücke wie 2−√2 oder 3√2+³√5 bekommt man auch ganzzahlig, indem man beliebige Potenzen bildet und die Grundrechnungsarten anwendet (und dabei nur ganze Zahlen verwendet).
Wenn z.B. x=2−√2, dann ist offenbar (x−2)²=2 und damit ganzzahlig.
Alle Zahlen, für diese Methode funktioniert, heißen algebraisch. Algebraische Zahlen (die auch komplex sein können) sind einfach die Lösung von Polynomgleichungen mit ganzzahligen (oder rationalen, das ist egal) Koeffizienten. Alle rationalen Zahlen sind algebraisch, und alle ganzen Zahlen sind rational und deshalb auch algebraisch.
Nun ist π aber auch keine algebraische Zahl, sondern eine transzendente Zahl. Deshalb sind Ausdrücke wie (3π−⅗)⁶ ganz bestimmt nicht ganzzahlig, oder rational, oder auch nur algebraisch. Stattdessen sind sie ebenso transzendent wie π selbst.
Ein Ausdruck, in dem π vorkommt, kann also nur dann ganzzahlig (oder rational, oder auch nur algebraisch) sein, wenn eines der folgenden zutrifft
- Wenn noch andere geeignete transzendente Zahlen darin vorkommen, z.B. e. Als Beispiel die Eulersche Gleichung, exp(iπ)=−1
- Wenn darin spezielle Funktionen vorkommen, die man nicht durch eine endliche Folge von Addition, Multiplikation und Potenzierung ersetzen kann. Z.B. die Winkelfunktionen: cos(π)=−1, und für jedes ganze n ist cos(nπ) zumindest algebraisch.
Es ist übrigens ein kleiner Fehler im letzten Satz: cos(nπ) ist trivialerweise immer ganzzahlig (0, 1 oder −1); eigentlich wollte ich cos(nπ/k) schreiben, das ist für jedes n und k immer algebraisch, z.B. cos(59π/128) = sqrt(2−sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2−sqrt(2−sqrt(2))))))/2 oder cos(8π/17) = (−1+sqrt(17)+sqrt(34−2*sqrt(17))−2*sqrt(17+3*sqrt(17)−sqrt(34−2*sqrt(17))−2*sqrt(34+2*sqrt(17))))/16
Gäbe es ein ganzzahliges Vielfaches der Zahl Pi, wäre Pi eine rationale Zahl. Pi ist aber keine rationale Zahl. Also kann es auch kein ganzzahliges Vielfaches der Zahl Pi geben.
Das gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass du mit "Vielfaches" hier die Multiplikation von Pi mit einer ganzen Zahl meinst.
2*pi ist ein ganzzahlig Vielfaces von pi, 3*pi ist ein ganzzahlig Vielfaces von pi
diese Existenzen stellen die transzendenz von pi nicht in Frage.
2*Pi ist aber nicht Element der ganzen Zahlen, dementsprechend ist 2*Pi kein ganzzahliges Vielfaches der Zahl Pi.
2*Pi ist aber nicht Element der ganzen Zahlen
behauptet ja auch keiner und ist nicht gefragt.
dementsprechend ist 2*Pi kein ganzzahliges Vielfaches der Zahl Pi.
Dein Quatsch wird nicht richtiger, wenn du ihn öfter wiederholst.
Wenn du Probleme mit der Sematik hast, solltest du darauf verzichten, Fragen zu beantworten, die du nicht versteht.
Wenn du Probleme mit der Sematik hast, solltest du darauf verzichten, Fragen zu beantworten, die du nicht versteht.
Ich denke nicht, dass ich Probleme mit der Semantik habe. Hier war die Frage nach einem ganzzahligen Vielfachen. Also einem Vielfachen, das ganzzahlig ist. Und was ein Vielfaches ist und woran man festmachen kann, dass eine Zahl ganzzahlig ist, muss ich einem Nutzer, der sich mit dem Titel "Community-Experte für Mathematik" schmückt, wohl nicht erklären.
Nein, denn dann könnte Pi als Bruch dargestellt werden und wäre nicht mehr irrational. Was Pi aber ist.
Es gibt ein paar alltäglich verwendbare Annäherungen, etwa 3 + 10/70.
Pi hat unendlich viele Stellen. Wir werden die Nachkommastellen der Zahl Pi also nie alle hinschreiben können. ... Die Zahl Pi ist eine irrationale Zahl. Das heißt im Umkehrschluss, Pi ist keine rationale Zahl, d.h. Pi kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden.
1/3 = 0,33333333… und hat somit auch „unendlich viele“ Nachkommastellen. Das macht sie und auch pi längst nicht zu irrationalen Zahlen. Entscheidend ist: die Nachkommastellen verhalten sich ab keiner Stelle periodisch.
Wichtig ist in obiger Antwort, dass Pi irrational ist, und deshalb keine regelmäßige Anordnung der Nachkommastellen existiert.
Das ist nur halbherzig — √3 hat auch unendlich viel Nachkommastellen und keine Periode, aber es löst genauso wie 5 oder ⅔ eine algebraische Gleichung — für die drei Beispiele sind die Gleichungen x²−3=0, x−5=0 und 2x−3=0.
Es existiert aber keine derartige Polynomgleichung mit ganzen Koeffzienten, deren Lösung π wäre.
du liest zu viel in die schon schlecht formulierte Frage rein. Es ging höchstens um Rationalität. So oder so bezog sich mein Kommentar ausschließlich auf Idiealots Beitrag. Sein impliziter Schluss: unendliche Nachkommastellen (vermutlich zur Basis 10) ==> irrational. Ich habe dies leicht widerlegt. Mehr nicht.
Nein, da Pi ein irrationale Zahl ist und unendlich viele Ziffern mit völlig unregelmäßig verteilten Zahlen sind, gibt es keine rationale Zahl mit der man Pi multiplizieren kann, damit das Ergebnis ganzzahlig ist.
Hervorragend, du hast mir das prima erklärt! Auf die relativ einfachen Gleichungen exp(iπ)=−1 und cos(π)=−1 hätte ich selber kommen können... Aber den Begriff "algebraisch" in dem Zusammenhang kannte ich noch nicht, danke für die Erklärung :-)