gerade parallel zur Ebene
Wie stelle ich eine gerade auf, die parallel zur ebene ist (ebene gegeben). Mir fehlen ansätze und auch google hilft hier nicht.
5 Antworten
und hier noch eine kleine Skizze zu meinem Lösungsweg...
Ob eher mein Lösungsweg oder der von Ellejolka/Roooobert1234 der "passendere" ist, hängt übrigens auch davon ab, in welcher Form Du Deine Ebenengleichung gegeben hast. Ich war von der Parameterform ausgegangen, da ich vermutet hatte, dass Ihr die Normalenform noch nicht hattet.
Auf jeden Fall sind mathematisch beide Wege möglich!
Vielen Dank! Dann erscheint mir dieser Weg auch einfacher als der, den ich erst einschlagen wollte, auch wenn beide gehen.! Super erklärt und mit Skizze noch viel besser! :)
Idee: Du berechnest zwei Punkte A und B, die in der Ebene liegen, und brauchst einen Punkt C, der NICHT in der Ebene liegt.
Dann stellt g: x = c + k·AB eine solche Geradengleichung dar.
Wie kann das denn eine Gerade ergeben? Der Vektor AB geht ja quasi mit der eben mit, während der Punkt C dann irgendwo außerhalb der Eben leigt? Ich dachte jetzt man müsse evtl. einen Normalenvektor der Ebene bilden, welche dann ja auch orthogonal zur Gerade sein muss. Aber wie leg ich dann fest dass meine Gerade auch wirklich orthogonal zu diesem ist? MfG
AB ist "im Original" in der Ebene. Da Du einen Vektor aber beliebig im Raum verschieben darfst...
Ich habe AB an den Vektor c drangehängt. Dadurch dient er als Richtungsvektor Deiner Geraden.
Da Deine Gerade parallel zu E sein soll, benötigst Du keinen Normalenvektor. Der wäre nötig, wenn Deine Gerade senkrecht zu E verlaufen sollte (z.B. bei der Bestimmung eines Lotfußpunktes).
Gegeben sei eine Gerade g der Form g: x = ap + λ rv , wobei
- ap = Aufpunkt / Stützvektor
- rv = Richtungsvektor sind
und eine Ebene der Form E: n * (x -a) = 0 mit Normalenvektor n. n steht also senkrecht zur Ebene. Du suchst nun eine Gerade, die parallel zur Ebene sein soll, bedeutet, die Parallele steht auch senkrecht zu deinem Normalenvektor.
So... wenn nun das Skalarprodukt deines Richtungsvektors der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene den Wert Null ergibt, weißt du, dass n senkrecht zu rv ist, und somit du eine Gerade gefunden hast, bzw den Richtungsvektor, die parallel zu deiner Ebene ist. Wäre n * rv ≠ 0, würde ein Schnittpunkt existieren. Hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen :-)
Ja soweit denke ich mir das auch..Aber wie finde ich denn nun meine gerade, die orthogonal zum Normalenvektor ist? :o (Falls benötigt: Wir benutzen den TI-Nspire als Taschenrechner)
na kuck mal :-)
da du deine Ebene gegeben hast, kennst du n.
nun gilt n * rv = 0 also n1 * rv1 + n2 * rv2 + n3 * rv3 = 0
du kannst für rv1,2,3 beliebige Werte verwenden, solange 0 rauskommt ;-) es gibt ja nicht nur eine parallele Gerade.
Beispiel: n = (1 | 2 | 3) , rv = ?
dann gilt: 1 * rv1 + 2 * rv2 + 3 * rv3 = 0 könnte dann z.B. folgende Lösungen haben:
rv1 = 1 , rv2 = -3 und rv3 = -5/3 etc... oder andere Werte. wie gesagt, die Hauptsache ist, dass am Ende der Gleichung 0 stehen muss
Okay das leuchtet mir soweit alles schon mal ein. Aber (auch wenn das jetzt vllt dumm klingen mag), woher weiß ich denn, dass zum Beispiel 1 * 1 + 2 * -3 + 3 * -5/3 = 0 auch wirklich zutrifft, und es null ergibt?
frag ruhig, wenn du es nicht verstehst, dafür sind wir doch hier :-)
nur fällt es mir schwierig dies zu beantworten. Du kannst das doch einfach berechnen. Das skalarprodukt 2er Vektoren ist ja nix anderes als a * b und es kommt immer ein Skalar raus, sprich eine Zahl und kein Vektor.
Vektor a = (a1 | a2 | a3) und Vektor b = (b1 | b2 | b3), dann machst du nix anderes als a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 zu rechnen. Das ist eine ganz simple Rechnung wie du sie aus der 5 Klasse kennen solltest.
wieso 1 * 1 + 2 * -3 + 3 * 5/3 = 0 auch wirklich zutrifft, und es null ergibt? rechne es doch einfach nach :-)
1* 1 = 1 und 2 -3 = -6 und 3 5/3 = 5 (ACHTUNG: ich habe oben fälschlicherweise -5/3 geschrieben, es muss natürlich 5/3 heißen, sonst kommst du nicht auf die 0 ;-) )
also 1 - 6 +5 = 0
Okay, jetzt versteh ich auch richtig was es mit dem Skalarprodukt auf sich hat, vielen Dank! Nun hab ichs auch verstanden! Danke für die Mühe und Geduld! :)
du nimmst einen Normalenv. der Ebene und wählst einen Vektor, der mit dem Normalenv. das Skalarprodukt 0 ergibt; dann hast du den Richtungsv. für die Gerade; als Stützv. wählst du einen beliebigen Punkt.
Aber wie finde ich denn einen vektor, der mit dem Normalenvektor das Skalarprodukt=0 ergibt?
nur so ein paar stichpunkte die evtl helfen skalarprodukt vektorprodukt
würd gern noch mehr helfen aber vektoren war letztes schuljahr da jetzt stochhastik ist hab ich das immoment nicht so präsent
Ja skalarprdoukt hab ich auch dran gedacht, ist ja immerhin auch Teil des Themas...(siehe Kommentar unter der anderen Antwort)
Mfg
Ah okay, mit der Skizze wird mir das alles gleich viel klarer.!
Also jetzt nochmal in meinen Worten zusammengefasst: Ich such mir 2 Punkte auf meiner Ebene, bilden zwischen diesen dann einen Vektor, welcher später mein Richtungsvektor der Geraden wird, richtig? Und anschließend such ich mir irgend einen beliebigen Punkt außerhalb der Ebene (vöölig egal welchen), den ich als Stützvektor nehmen kann?