Frage von KickGenerator66, 75

Ebenengleichung mit gegebenem Abstand zu anderer Ebene?

Hallo, ich muss bei einer Aufgabe die Ebene finden, die zur Ebene 2x1-x2+x3=1 parallel ist. Außerdem ist der Punkt (5/-1/2) gegeben, der zwischen den Ebenen liegt und von der bekannten Ebene doppelt so weit entfernt ist, wie von der gesuchten. Als erstes habe ich die Hessesche Normalenform benutzt und habe den Abstand zwischen der bekannten Ebene und dem Punkt berechnet. Jetzt habe ich allerdings keine Ahnung, wie ich weiterrechnen soll. Kann mir jemand mit mehr Ahnung helfen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 39

Hallo,

wenn beide Ebenen parallel sind, haben ihre Koordinatenformen die gleichen Faktoren vor x1, x2 und x3. Unterschiedlich ist lediglich die Zahl ohne x.

Wenn Ebene 1 also 2x1-x2+x3=1 lautet, ist eine beliebige parallele Ebene durch 2x1-x2+x3=d definiert.

Du suchst zunächst die Ebene, die durch den gegebenen Punkt geht. Dafür setzt Du einfach die Koordinaten des Punktes für x1, x2 und x3 ein:

2*5-1*(-1)+2*1=13

2x1-x2+x3=13 ist also parallel zu der gegebenen Ebene und geht durch den Punkt (5|-1|2).

Der Normalenvektor für beide Ebenen ist natürlich der gleiche; da sie parallel sind, ist auch derselbe Vektor senkrecht zu ihnen.

n=(2/-1/1), |n|=√6

Wenn Du nun die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen durch den Betrag des Normalenvektors teilst, bekommst Du den Abstand der jeweiligen Ebene vom Ursprung heraus.

Ebene 1: 1/√6=0,4082

Ebene 2: 13/√6=5,3072

Somit haben beide Ebenen einen Abstand von 5,3072-0,4082=4,899 Einheiten.

Eine parallele Ebene 3 muß einen doppelt so großen Abstand von Ebene 1 haben wie Ebene 2, also 9,798, was 24/√6 entspricht.

24=25-1, somit muß d von Ebene 3, der gesuchten Ebene, gleich 25 sein:

E3: 2x1-x2+x3=25

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von KickGenerator66 ,

Alles klar, jetzt macht das Sinn. Danke für die Hilfe!

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