Ebenengleichung angeben, die gleichen 'Abstand zu zwei Geraden hat und parallel zu diesen ist?
habe zwei Geraden in der aufgabe angegeben und solll wie beschrieben eine Ebenengleichung aufstelle, die parallel zu den beiden Geraden und auch denselben Abstand zu diesen haben soll.
Ich weiß nur, dass ich das Vektorprodukt der Richtungvektoren berechnen muss.
Habe mir überlegt die Hessesche Normalenform zu benutzen und gleichzustellen, aber wusste nicht welche Punkte der Geraden ich als Referenzpunkte nutzen kann.
Kann man vllt die Stützvektor der beiden geteilt durch zwei und dann in die Koordinatenform einfügen?
1 Antwort
Hi, erstmal coole Frage. :P
Ich stelle mal zwei Wege vor, wie du das machen könntest. Der erste Weg ist einfacher zu verstehen und der zweite Weg ist einfach eine noch etwas abstraktere Möglichkeit. Ich habe beides unten an zwei Beispielgeraden gemacht.
Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist auf jeden Fall der Normalenvektor unserer Ebene, denn nur dann ist sie parallel zu beiden Geraden.
Erster Weg
Der erste Weg besteht darin, die Abstände gleichzusetzen. Du hast geschrieben, dass du nicht weißt welchen Punkt der Geraden du als Referenz nehmen sollst. Wenn aber Ebene und Gerade parallel sind, haben auch alle Punkte der Geraden den gleichen Abstand zur Ebene! Die Frage ist eher, was du mit den Beträgen bei der Abstandsformel machst.
Lässt du bei beiden Seiten der Gleichung den Betrag einfach weg (beides positiv oder beides negativ) bekommst du einen Widerspruch beim Auflösen. Du musst also auf eine Seite ein minus setzen um die Beträge zu entfernen. Das ergibt insofern Sinn, als das bei dieser Abstandsformel mit der Normalenform ein positiver Abstand rauskommt, wenn der Punkt auf der einen Seite liegt, und ein negativer wenn er auf der anderen Seite liegt. Deshalb würden die Abstände unterschiedliches Vorzeichen haben und um sie gleichzusetzen musst du vor eine Seite ein Minus packen.
Der Rest ist dann klar. Der Betrag vom Normalenvektor kürzt sich raus. Am Ende erhältst du die Ebene in der Koordinatenform.
Zweiter Weg
Da wir den Normalenvektor der Ebene kennen, brauchen wir einfach nur einen Punkt auf der Ebene und dann haben wir sie. Aber wie bekommen wir einen Punkt auf der Ebene? Das mit dem Mittelpunkt aus zwei Punkten der Gerade ist eine gute Idee, aber welche zwei? Wie benötigen die zwei, wo der Abstand der Geraden dazwischen liegt. Nur dann liegt die Ebene in der Mitte des Abstands.
Wir kennen die Verbindung dieser zwei Punkte, das ist der Normalenvektor. Jetzt wirds leider komplizierter. Wir brauchen durch diesen Fakt nur einen Punkt der beiden. Wir definieren uns also eine Hilfsebene, bei der wir einfach die Gleichung einer Geraden nehmen, und noch ein Vielfaches des Normalenvektors draufrechnen. Das ist dann diese Gerade und ein Aufspannen der Ebene in Richtung dieses Normalenvektors. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der anderen Gerade ist der Punkt wo der Abstand der Geraden gemessen wird. (Schwer zu verstehen)
Beim Berechnen des Schnittpunkts haben wir aber auch das Vielfache des Normalenvektors erhalten, dass uns von der Gerade auf diesen Punkt gebracht hat. Wenn wir also die Hälfte dieses Vektors zurückgehen haben wir den gesuchten Mittelpunkt. Dies ist ein Weg bei der man sehr gute räumliche Vorstellung braucht. Es kann sein dass du ihn nicht ganz verstehst, aber der erste Weg sollte verständlich sein. :) Der zweite ist doch schwieriger zu erklären als ich gedacht hatte. Am besten du vergisst ihn einfach. :P
Ich hoffe das hilft dir weiter! Du kannst gerne nen Kommentar schreiben.
Heyy, danke für die ausführliche Antwort:)) hab beide Möglichkeiten jetzt verstanden. Glaube der zweite Weg war gar nicht mal so schwierig zu verstehen, weil wir mit Durstoßpunkten beim Thema symmetrie und Spiegelung was ähnliches hatten hahha muss man aber erstmal drauf kommen eine Hilfsebene aufzustellen xD thxx!