Gegeben ist eine quadratische funktion mit f(x)= x^2 + px + q und den Nullstellen 1 und 4. Ermitteln sie die Werte fuer p und q. Wie macht man das?

Die Frage lautet: Gegeben ist eine quadratische funktion mit f(x)= x^2 + px + q und den Nullstellen x1 = 1 und x2= 4. Ermitteln sie die Werte fuer p und q. Wie macht man das? Wir duerfen keine Hilfsmittel verwenden. Ich dachte erstmal daran die Funktion in die Mitternachtsformel einzusetzen und dann die Werte p und q zu ersetzen mit ein bisschen rumraten, bin aber auf kein Ergebnis gekommen. Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

[evtldocha]

Die Funktion in ihrer faktorisierten Form schreiben, ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich machen:

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot\left(x-4\right)=x^2-5x+4$

Und schon kannst Du p = -5 und q=+4 ablesen

Probe mit der pq-Formel:

$x_{1/2​}=\frac{5}{2}​\pm\sqrt{\frac{25}{4}-4}=\frac{5}{2}​\pm\sqrt{\frac{9}{4}}​=\frac{​5}{2}\pm​\frac{3}{3}→\ x_1​=1;\ x_2​=4$

Alternative Methode: Satz von Vieta

$x_1+x_2=-p\ \rightarrow\ p=-\left(1+4\right)=-5;\ \ q=x_1\cdot x_2=1\cdot4=4$

Comments

[FataMorgana2010]

Ganz genau so. Einfach ausmultiplizieren, fertig. Vieta kann man machen, aber dazu muss man den ja kennen und parat haben.

[chokelz]

Vielen Dank, macht Sinn. Also eigentlich eine sehr einfache Aufgabe. LG

Answer 2

[ethan227]

Gegeben sind die Nullstellen 1 und 4. Die Werten davon kannst Du mit dem Satz von Vieta ( Wurzelkoeffizientenbeziehungen ) nutzen, wobei eine, quadratische Gleichung mit dem ersten Wert von 0 $x^2\ +\ px\ +\ q\ =\ 0\$ lautet. Dabei sind -p = Summe der Nullstellen und q = Produkt der Nullstellen.

Davon ist die Summe der Nullstellen 5 und der Produkt ist 4. Deswegen ist die Gleichung

$x^2\ -\ 5x\ +\ 4\ =\ 0$ Oder Du kannst die Gleichung x^2 + px + q darauf nutzen und x = 1 und x = 4 dazu einsetzen. Davon bekommst Du zwei, lineare Gleichungen ( mit 0 am Ende ), nämlich :

p + q = -1

4p + q = -16.

Anhand dieser Gleichung sind die Ergebnisse p = -5 und q = 4.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 3

[Zvvingli]

Grundsätzlich kennst du ja die Nullstellen, d.h. wenn du für x den Wert 1 einsetzt, kommt 0 raus. Wenn du für x den Wert 4 einsetzt kommt auch 0 raus.

Damit hast du ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit zwei unbekannten, die du beliebig lösen kannst, also in einander einsetzen, durch-Gaußen, etc.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Einige Jahre lang Mathe-Tutor & Klausurkorrektur

Answer 4

[Wechselfreund]

Ohne Vieta

(x-1)(x-4) ausmultiplizieren.

Answer 5

[FouLou]

Endweder du benutzt den Satz von Vieta. (Eifnach mal auf wikipedia durchlesen.)

Oder du setzt einfach x1 und x2 jeweils ein. y ist ja immer null.

Dann haste 2 gleichungen mit 2 unbekannten (p und q)

Und das ist dasnn ein gleichungsystem das du lösen kannst wie jedes andere gleichungsystem.

z.b. eine gleichung nach p umstellen und in die andere einsetzen. q dann ausrechnen. Und q in der anderen gleichung einsetzen und p ausrechnen. Fertig.

Mit dem Satz von Vieta gehts aber einfacher und schneller.