gegeben ist die funktion f(x)=x^2-3. Bestimme den Differenzquotienten für a)das intervall (-100;-1) b)das Intervall (-10;-1) c)das Intervall (-1,1;-1)?
3 Antworten
Hallo,
um den Differenzenquotienten einer Funktion über einem Intervall [a;b] zu bestimmen, bestimmst Du den Funktionswert zu b und den zu a, also f(b) und f(a) und ziehst f(a) von f(b) ab.
Ebenso bildest Du die Differenz zwischen b und a: b-a.
Nun teilst Du f(b)-f(a) durch b-a. Das Ergebnis ist der Differenzenquotient.
Für die Funktion f(x)=x²-3 im Intervall [-100;-1] bedeutet dies:
[f(-1)-f(-100)]/(-1+100)=
(-2-9997)/99=-101.
Die Differenzenquotienten der anderen Intervalle berechnest Du auf entsprechende Weise.
-101 ist die Steigung der Geraden, die die Punkte (-100|9997) und (-1|-2) miteinander verbindet
Herzliche Grüße,
Willy
Das Ergebnis des Differenzenquotienten ist die Steigung der Sekante. Von Tangente war hier nie die Rede.
Ich habe auch nicht von der Tangente gesprochen, sondern von der Geraden, die zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen miteinander verbindet, mithin einer Sekante. Und bei dieser entspricht der Differenzenquotient zwischen den beiden verbundenen Punkten durchaus ihrer Steigung.
Herzliche Grüße,
Willy
Hat auch niemand behauptet. Ich wollte den Fragestellenden nur darauf hinweisen, dass der Differenzenquotient - ohne feste Zahlenwerte (das hab ich vergessen, explizit hinzuschreiben) - nicht gleich dem Differentialquotienten entspricht.
Gruß zurück. Willy Ich schätze mal, auf den Differentialquotienten wird im Unterricht noch hingearbeitet. Die immer kleineren Intervalle in der Aufgabe lassen vermuten, daß man sich der Steigung bei x=-1 nähert und damit tatsächlich dem Grenzwert der Differenzenquotienten und damit Steigung der Tangente.
Sei f(x) = x² - 3 die zu betrachtende Funktion.
Gemäss Definition ist der Differenzenquotient:
[f(x + h) - f(x)] / h (vgl. ∆y/∆x)
Bezogen auf Teilaufgabe a) ist x = -100 und x + h = -1. Entsprechend ist die Horizontaldifferenz h = (x + h) - x = 99 (≙ ∆x).
Nun setzen wir die Zahlenwerte in den Differenzenquotienten ein:
[f(-1) - f(-100)] / 99, (I)
Und ersetzen in (I) f(x + h) durch (x + h)² - 3 und f(x) durch x² - 3:
[((-1)² - 3) - ((-100)² - 3)] / 99, (II)
(II) ist dasselbe wie:
[-2 - 9997] / 99, (III)
(III) ist dasselbe wie:
-9999 / 99
Somit ist der Differenzenquotient in der Teilaufgabe a):
-101
Da wir anfangs Zahlenwerte eingesetzt haben, entspricht der Differenzenquotient gerade dem Differentialquotienten, also der Steigung im Punkt (-100|f(-100)).
Würden wir den Differenzenquotienten für ein beliebiges Intervall bestimmen, wäre das Resultat nicht dasselbe wie dasjenige des Differenzialquotienten (entspricht dem limes des Differenzenquotienten) und damit nicht die Steigung im Punkt (x|f(x)).
Was ist der tiefere Sinn der Aufgabe?
Du sollst 3 Differenzenquotienten (DQ) berechnen. Mit einem DQ berechnest Du jeweils die Steigung einer Geraden, die mit dem Graphen einer Funktion (hier: f) zwei Punkte gemeinsam hat (vgl. Willy1729).
Du hast drei Intervalle gegeben: [-100; -1] , [-10; -1] und [-1,1 ; -1]
Da fällt doch auf, dass die rechte Grenze immer gleich bleibt, die linke dagegen auf die rechte Grenze zuläuft.
Geometrisch bedeutet dass, dass Du drei Sekanten hast, die sich immer mehr einer Tangente, nämlich der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = -1, annähern.
Somit nähern sich die errechneten DQ auch immer mehr der Steigung dieser Tangente an: -101, -11, -2,1.
Daraus ergibt sich die Vermutung, dass die Steigung der Tangente (und damit die Steigung der Funktion f) an der Stelle x = -1 "in der Nähe" von -2 liegen wird.
Dies kannst Du dadurch bestätigen (nicht beweisen), dass Du für die linke Intervallgrenze weitere Werte einsetzt, die noch dichter an -1 dranliegen, z.B. -1,05, -1,01, -1,002 . . .
Beachte: Der Differenzenquotient entspricht nicht der Steigung. Erst der Differentialquotient (limes aus dem Differenzenquotienten) entspricht der Steigung der Tangente an die Kurve f(x) an der Stelle x₀.