Ganzrationale Funktion Textaufgabe?

Klar, bei der a) einfach Zeigen dass die steigung gleich ist an den Anschlussstellen ist und den wendepunkt berechnen.

Aber wie mache ich die b?? Mein ansatz: Funktion muss die gleiche steigung wie bei der a haben und einen WP?

Answer 1

[gauss58]

Folgende Bedingungen müssen für beide Übergangsstellen erfüllt werden:

keine Lücke: f(x) = g(x)

knickfrei: f'(x) = g'(x)

krümmungsruckfrei: f''(x) = g''(x)

Gerade 1: f_1(x) = 2 für x <= 0 ; f_1'(x) = 0 ; f_1''(x) = 0

Gerade 2: f_2(x) = -2 * x + 9 für x >= 4 ; f_2'(x) = -2 ; f_2''(x) = 0

Kurve:

g(x) = a * x^5 - (41 / 256) * x^4 + (11 / 32) * x^3 + 2

g'(x) = 5 * a * x^4 - (164 / 256) * x^3 + (33 / 32) * x^2

g''(x) = 20 * a * x^3 - (492 / 256) * x^2 + (66 / 32) * x

Es ist leicht erkennbar, dass die Bedingungen für den ersten Übergangspunkt x = 0 - unabhängig von dem zu ermittelnden Wert für a - erfüllt sind.

Für den zweiten Übergangspunkt x = 4 können 3 Gleichungen aufgestellt werden, um a zu bestimmen.

a = 9 / 512 erfüllt alle 3 Gleichungen

Comments

[Noma643]

Danke. Und welche 3 gleichungen wären das?

[gauss58]

@Noma643

Es wird x = 4 in die Gleichungen eingesetzt:

(1) a * 4^5 - (41 / 256) * 4^4 + (11 / 32) * 4^3 + 2 = 1

(2) 5 * a * 4^4 - (164 / 256) * 4^3 + (33 / 32) * 4^2 = -2

(3) 20 * a * 4^3 - (492 / 256) * 4^2 + (66 / 32) * 4 = 0

[Noma643]

@gauss58

Danke. Und wie kommt man dann auf a= 9/512

[gauss58]

@Noma643

a * 4^5 - (41 / 256) * 4^4 + (11 / 32) * 4^3 + 2 = 1

1024 * a - (41 * 256 / 256) + (11 * 64 / 32) = -1

1024 * a = -1 + 41 - 22

1024 * a = 18

a = 9 / 512

Die Gleichungen (2) und (3) müssen auch erfüllt werden, daher muss der Wert für a dort eingesetzt werden und die Richtigkeit kontrolliert werden.

[Noma643]

@gauss58

Ok danke. Also die erste gleichung einfach nach a umformen?

[gauss58]

@Noma643

Ja, es gibt zwar 3 Gleichungen, da die erste und die zweite Ableitung auch übereinstimmen müssen, aber nur eine Unbekannte. Die sollte aber kontrolliert werden.