Textaufgabe zu Ganzrationalen Funktionen?
Wie löst man diese Aufgabe?
1 Antwort
Hi,
ich gebe dir ein paar Hinweise, mit denen du es dann selbst probieren kannst. Die Lösungen kannst du dann gern unter die Antwort posten.
Aufgabe a- Zunächst bestimmst du die Extremstellen deiner Funktion, um zu wissen, wo die Steigung das Vorzeichen wechselt. Dein Intervall liegt dann zwischen 0 und der Extremstelle.
- Dazu bildest du zunächst die erste Ableitung.
- Diese setzt du mit Null gleich und berechnest x. Du solltest 2 Extremstellen rausbekommen, die kleinere ist die relevante.
- Für den kleineren x-Wert berechnest du nun den y-Wert dazu, indem du den Wert in f(x) einsetzt.
- Dann berechnest du die Sekantensteigung der Sekante durch den Nullpunkt und den Extrempunkt. Du rechnest Das Ergebnis ist die mittlere Änderungsrate innerhalb dieses Intervalls.
- Die größte Steigung liegt an der Nullstelle vor, denn bis zur Extremstelle nimmt die Steigung nur noch ab. Du musst also x = 0 in f'(x) einrechnen. Dann kennst du die Steigung an dieser Stelle.
- Dann teilst du den Wert durch den Wert für m aus Aufgabe 1 und bekommst eine Zahl raus.
- Wenn zB 1,2 rauskommt, ist die Steigung an der Stelle 20% größer als die mittlere Steigung auf dem Streckenabschnitt.
Hier musst du nicht mehr viel rechnen. Du kennst die Extremstellen schon aus Aufgabe a. Du musst nur noch die Differenz der x-Werte bilden.
Aufgabe d- Dazu setzt du den größeren x-Wert (d.h. den x-Wert der zweiten ermittelten Extremstelle) in f(x) ein.
- Dann bildest du die Differenz zwischen dem in a berechneten y-Wert und dem jetzt ermittelten y-Wert.
Die größte Steigung hast du an den Wendepunkten, wenn sie nicht gerade Sattelpunkte sind. Da hier aber keine Sattelpunkte vorliegen, musst du nun die Wendestellen der Funktion bestimmen.
- Dazu berechnest du f''(x).
- Dies setzt du mit Null gleich und bekommst einen x-Wert. Das ist deine Wendestelle.
Hier musst du auch nicht rechnen. Die steilsten Stellen sind nämlich der Anfangs- und Endpunkt der Strecke. Du hast auf dem Intervall zwischen 0 und 6 nämlich nur eine Wendestelle, an der die Kurve von rechts nach links wechselt (ersichtlich an den zwei Extrempunkten). Die Werte 0 und 6 bilden die festgelegten Intervallgrenzen und dies sind daher die steilsten Stellen.
LG
LG
Du hast im Intervall nur eine Wendestelle. Die hat eine Steigung von -1/3. Bei x=0 liegt eine Steigung von +8/3 vor. Der Betrag der Steigung ist größer. Auf dem Intervall zwischen den Nullstellen liegt die größte Steigung beim Wendepunkt. Aber die Steigung der Funktion (punktsymmetrisch um den Wendepunkt) geht vor der ersten Extremstelle und hinter der zweiten Extremstelle gegen unendlich (Divergenz). Da die äußeren Intervallgrenzen aber 0 und 6 sind, muss dort die Steigung jeweils am höchsten sein.
Du teilst den Wert 8/3 durch die durchschnittpiche Steigung bis zur Extremstelle (dafür teilst du den y-Wert durch den x-Wert). Kannst ja mal sagen was du da raus bekommst.
Danke! Ich verstehe aber nicht, was man bei b machen soll? Warum ist die größte steigung an den Nullstellen? Die sollte doch and den wendestellen sein.