Ganzrationale funktion Aufgabe?
Das Höhenprofil einer Bergtour (6km lang, 1LE entspricht 100m) kann durch die Funktion 1/9x^3 - x^2 + 8/3x beschrieben werden.
Welcher Höhenunterschied wird bei den Anstiegen insgesamt überwunden?
1 Antwort
f(x) = 1/9*x³ - x² + 8/3*x
f'(x) = 1/3*x² - 2*x + 8/3
f''(x) = 2/3*x - 2
###
f'(x) = 0 bei x1 = 2 und bei x2 = 4
f''(x1) < 0 -> bei x1 ein lokales Maximum
f''(x2) > 0 -> bei x2 ein lokales Minimum
###
Aufstieg im Intervall [0,x1] : Höhenunterschied = f(x1) - f(0)
Abstieg im Intervall [x1,x2] : Höhenunterschied = f(x2) - f(x1)
Aufstieg im Intervall [x2,6] : Höhenunterschied = f(6) - f(x2)
Wie sich der Höhenunterschied bei mehreren Bergen/Tälern definiert, weiß ich nicht. Ich nehme an, dass man die einzelnen Unterschiede betragsweise addiert, also ein negatives Vorzeichen ignoriert.
|f(x1) - f(0)| + |f(x2) - f(x1)| + |f(6) - f(x2)| ~ 4.88 Höhen-Einheiten
Nachtrag: an welcher Stelle ist der Abstieg am steilsten?
Um Extrempunkte der Ableitung zu finden, tut man am besten so, als wäre die Ableitung eine neue Ausgangsfunktion, das ist übersichtlicher:
g(x) = 1/3*x² - 2*x + 8/3 (siehe blaue Kurve im Bild)
g'(x) = 2/3*x - 2
g''(x) = 2/3
Bei x=3 liegt ein Extrempunkt, denn g'(3) = 0. Das ist lokales Minimum, den g''(3) > 0. Minimum? Nun beginnt die Verwirrung, denn es geht um den steilsten Abstieg. Damit überhaupt ein Abstieg (negative Steigung) existiert, muss g(x) in einem bestimmten Intervall negativ werden. Wäre g(x) im gefragten Bereich stets positiv, gäbe es nur Anstiege. Aufgrund g(3) < 0 handelt es um ein Minimum mit negativem Vorzeichen. Und entspricht damit absolut betrachtet dem grössten Gefälle.
Im Intervall [x1,x2] ist der Höhenunterschied (rein mathematisch) negativ. Wie gesagt weiss ich nicht, wie das z.B. auf einem Wanderweg dargestellt wird. Geht man die Zugspitze rauf und runter, kann man nicht Höhenunterschied 0 angeben. Da ich am Ende die Beträge der Höhenunterschiede addiert habe, spielt das Vorzeichen keine Rolle.
Danke!
Und wo ist die Stelle, an der es am steilsten begab geht? Das ist doch ca. Beim wendepunkt bei x=3 oder?
Danke! Im intervall (x1,x2) rechnet man doch f(x1) - f(x2) und nicht andersrum oder? Weil man rechnet ja maximum minus das minimum.