Wie löst man diese Aufgabe zum Tangentenproblem bei ganzrationale Funktion?
Wie löse ich die 20a)
1 Antwort
a)
Dass sich die Funktion f und die Geraden g mit 40° bei x = 1 schneiden ist äquivalent dazu, dass sich die Geraden g und die Tangente von f bei x = 1 mit 40° schneiden.
Die Tangente von f bei x = 1 ist einfach
f'(1) (x – 1) + f(1) = –x – 0,5.
Es gibt genau zwei Geraden, die die Tangente mit 40° schneiden (einmal links der Geraden und einmal rechts: siehe Abbildung).
Zuerst berechnen wir den Winkel zwischen dieser Tangente und der x-Achse. Mit diesem Winkel können wir dann die Winkel der beiden Geraden bestimmen.
Der Winkel der Tangente und der x-Achse ist arctan(f'(1)) = arctan(–1) = –45° (siehe Abbildung).
Die erste Gerade hat zur x-Achse also den Winkel –5° bzw. es gilt mit der Steigung m der Geraden dann
arctan(m) = –5° <=> m = tan(–5°) ≈ –0,09.
Die erste Gerade lautet demnach
g(x) = tan(–5°) (x – 1) + f(1) ≈ –0,09 x – 1,41.
Die zweite Gerade schneidet die x-Achse mit einem Winkel von –45° + 140° = 95°. Für die Anwendung des Tangens bedeutet dies ein Winkel von –85° (siehe Abbildung). Die Geradengleichung lautet demnach
g₁(x) = tan(–85°) (x – 1) + f(1) ≈ –11,43 x + 9,93.
Danke. Und woher hast du im letzten Schritt dass die 2. Geradewegs x achse mit einem Winkel von 95 Grad schneidet?