Funktionsscharen -?
Also, ich war krank und soll versuchen, die Hausaufgaben schon mal zu machen, leider weiß ich nicht ganz, wie ich die machen soll. Also die Schar lautet:
fk(t) = 0,5t^3 - 1,5kt^2 +6kt - 6t + 50
Hiervon sind Extrempunkte, sowie zwei Schnittpunkte zu finden. Könnte mir evtl dabei jemand behilflich sein?
3 Antworten
Zeigen Sie, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
Gezeigt werden muss, dass es genau zwei Stellen t0 gibt, für die für beliebige Werte von j und k gilt:
fj ( t0 ) = fk ( t0 )
Also:
0,5 t0 ^ 3 - 1,5 j t0 ^ 2 + 6 j t0 - 6 t0 + 50 = 0,5 t0 ^ 3 - 1,5 k t0 ^ 2 + 6 k t0 - 6 t0 + 50
<=> - 1,5 j t0 ^ 2 + 6 j t0 = - 1,5 k t0 ^ 2 + 6 k t0
<=> - 1,5 j t0 ^ 2 + 6 j t0 + 1,5 k t0 ^ 2 - 6 k t0 = 0
<=> t0 * ( - 1,5 j t0 + 6 j + 1,5 k t0 - 6 k ) = 0
<=> t0 = 0 ODER ( - 1,5 j t0 + 6 j + 1,5 k t0 - 6 k ) = 0
Letzteres gilt genau dann wenn
<=> t0 ( 1,5 k - 1,5 j ) = 6 k - 6 j
<=> t0 ( k - j ) = 4 ( k - j )
<=> j = k (diese Lösung ist jedoch nicht hilfreich, da j und k ja beliebig sein sollen. Für j = k sind die Funktionen fj und fk identisch, also überall gleich, was nicht zur Lösung des Problems beiträgt.)
ODER t0 = 4
Insgesamt gilt also für beliebige j und k:
fj ( t0 ) = fk ( t0 ) <=> t0 = 0 ODER t0 = 4
Zur Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte kann eine beliebeige Funktion der Schar fk ( t ) verwendet werden, da ja soeben gezeigt wurde, dass die Graphen aller Funktionen der Schar durch die beiden Punkte gehen. Insbesondere gilt das also auch für den Graphen der Funktion f0 ( t ), bei deren Verwendung die Funktionswerte am einfachsten zu berechnen sind, da für k = 0 alle Summanden, in denen ein k vorkommt, wegfallen, was die Berechnung erleichtert. Die Koordinaten der gesuchten Punkte sind daher:
P1 ( 0 , f0 ( 0 ) ) = ( 0 | 50 )
P2 ( 4 , f0 ( 4 ) ) = ( 4 | 58 )
es ist im prinzip das selbe wie eine normale funktion dur das der parameter k keine laufvariable wie t ist sondern ein parameter du musst beim ableiten und co einfach das k mit schleppen
fk´(t)=1,5t^2-3kt+6k
für Extremw. leitest du ab und setz gleich 0 ; t behandelst du wie x und k wie eine Zahl
für Schnittp. setzt du für k dann einmal zB1 und dann zB 2 ein und setzt die Terme einander gleich, und berechnest t