Bedeutung des Schnittpunktes zweier Graphen?
Eine Frage zu diesen Graphen (siehe Bild) lautet "Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen?". Welche Bedeutung hat er? Kann mir im Mom. keine Antwort darauf vorstellen..
& bitte keine Antworten wie 'Mach deine Hausaufgaben selbst', hat nämlich überhaupt nichts mit Hausaufgabe zu tun.
10 Antworten
@claushilbig, Suboptimierer, zebard, kulturkritische Anmerkung: Es sagt schon etwas aus, dass gleich von drei Teilnehmern auf Anhieb nicht das Näherungsverfahren, sondern ein Verfahren zur betriebswirtschafltichen GEWINNMAXIMIERUNG in diesem Diagramm gesehen wird... einige Jahrzehnte wird es wohl wieder dauern, bis in diesem Denken einer Mehrheit die feinen, aber unabweisbaren roten Linien (auch anderer Natur) gleich auffallen.
Die sehen ja kompliziert aus. Aber ich glaube 3,5 ist die Lösung, da schneiden sie sich doch?
Die Bedeutung des Schnittpunktes zweier Graphen hängt natürlich davon ab, welche Bedeutung die beiden Graphen haben.
Handelt es sich z. B. um Weg-Zeit-Diagramme von zwei Fahrzeugen, beschreibt der Schnittpunkt die Stelle, an der das eine Fahrzeug das andere überholt.
Dein Bild könnte eine wirtschaftlichen Anwendung darstellen. In dem Fall beschreibt vermutlich die Kurve die Herstellungskosten, die Gerade die Verkaufseinnahmen, jeweils in Abhängigkeit von der Stückzahl. In diesem Fall ist der Schnittpunkt der sog. Break-even-point, also den Punkt (die verkaufte Stückzahl), ab der Gewinn gemacht wird.
Wenn es keine Bedeutung der einzelnen Funktionen gibt, kann man nur sagen, der Schnittpunt ist der Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen Funktionswert haben.
Die eingezeichneten blauen und roten Linien sehen m. E. übrigens danach aus, als solle der Schnittpunkt durch ein Näherungs- / Iterartionsverfahren bestimmt werden, vielleicht ist das der Hintergrund dieser Abbildung? - IN diesem Fall wäre der Schnittpunkt der Punkt, in den "der Weg nach oben" und "der Weg nach unten" zusammenfallen, weil "der Weg nach links" die Läge 0 hat.
Mir fällt einiges zu dem Bildchen ein.
A: Der Schnittpunkt der Graphen von
f: x → (1/2)(x + 12/x) = y und
g: x → x = y und
ist ein gemeinsames Zahlenpaar (x,y); beide Funktionen f und g bilden also das x des Schittpunkts auf das gleiche y ab.
Das Besondere an der Funktion g ist, dass diese jede Zahl auf sich selbst abbildet. An den Schnittpunkten von f mit g (und nur dort) bildet also auch f eine Zahl auf sich selbst ab. Also liegt der Schnittpunkt ( x0 | f(x0) ) an der Stelle, an der die Funktion f einen x-Wert auf sich selbst abbildet, also:
f: x0 → (1/2)(x0 + 12/x0) = x0.
Das bedeutet auch: x = x0 ist die Lösung der Gleichung
(1/2)(x + 12/x) = x; (1)
B. Die Linienzüge (rot und blau) zeigen, wie weit ein Bild y von f von seinem Urbild x entfernt ist.
Beispiel: Der rote Linienzug geht von x = 8 zum y-Wert y = f(8) , das die Funktion f diesem x zuordnet. Dann geht der rote Linienzug auf der Höhe f(8) nach links an die Funktion g. Weiter geht der Linienzug auf die x-Achse zurück. Weil nun aber g jede Zahl sich selbst zuordnet, landet die rote Line auch bei einem x-Wert x =f(8) auf der x-Achse. Also ist die Strecke zwischen x = 8 und x = f(8) auf der x-Achse eine Entfernung zwischen Urbild und Bild von f auf der x-Achse.
Der blaue Linienzug startet dort, wo der rote ankam, und das Ganze geht von vorne los. Der "Landpunkt" des blauen Linienzugs ist aber näher am Startpunkt, also ist die Entfernung zwischen Urbild und Bild von f beim blauen Linienzug geringer als beim roten.
Wenn du immer mehr solche Linienzüge machst, kommt die beiden oberen Punkte des Linienzuges immer näher aneinander und an den Schnittpunkt heran. Wenn irgendwann eine Linienzug genau in x0 anfinge, müsste er deswegen einfach nur hoch und wieder herunter gehen. Das ist übrigens nie der Fall, aber die Linienzüge kommen beliebig nahe an x0 heran, wenn du genügend viele davon betrachtest. Das ist auch der "Zweck der Übung":
Wenn du die Startwerte aller Linienzüge berechnest, kommt eine Zahlenfolge heraus, die dem x-Wert x0 des Schnittpunkts beliebig nahe kommt.
Die erste fünf x-Werte dieser Zahlenfolge sind:
x1 = 8
x2 = 4,75
x3 = 3,63186...
x4 = 3,46827...
x5 = 3,4641.
Der Wert von x0 ist
√(12) = 3,4641016...
wie Volens richtig angibt (die Probe stimmt; garantiert fand er/sie das durch Lösung der Gleichung (1)) heraus, jedenfalls hätte ich das so gemacht). Das fünfte Glied der Zahlenfolge ist also schon ziemlich "dicht dran": Die ersten vier Stellen nach dem Komma stimmen.
Wenn du also keinen Taschenrechner hättest, könntest durch Berechnung der Folgenglieder einen recht genauen Wert für √12 ausrechnen. Der Taschenrechner macht es übrigens tatächlich so; er berechnet blitzschnell Zahlenfolgen, die so nahe an einen gewünschten Wert herangehen, dass alle angezeigten Stellen nach dem Komma stimmen. Dafür braucht der Taschenrechner nur Grundrechenarten (so wie du zur Berechnung der Folge).
Als erstes fällt auf, dass x = 3,5 ganz gewiss nicht der Schnittpunkt der Funktionen ist, denn bei y = x für die Gerade müsste die rechte Seite bei x = 3,5 auch 3,5 ergeben.
Und dem ist keineswegs so.
Also konnen jetzt die fleißigen Rechner wieder ihre Arbeit aufnehmen.
Wenn da also etwas repräsentiert werden soll, ist es äußerstenfalls die zeichnerische Darstellung des Punktes S (√12 | √12).