Extrem schwere Gleichung?
Hallo zusammen,
ich habe ein ziemliches Problem. Es geht um Mathe. Ich habe zwei Funktionenscharen, nämlich ft(x) und gt(x). ft(x) = 1+tsin(x) gt(x) = (1/πt)x^2-(1/t)*x+1 Ich muss jetzt die Schnittpunkte der beiden Graphen finden, besser gesagt eine Formel für die Schnittpunkte. Ich weiß, dass ich ft(x) und gt(x) gleichsetzen muss, aber wie komme ich von dort aus auf die Schnittpunkte? Es erscheint mir extrem schwer, bei so einer Gleichung nach x aufzulösen, und was muss ich mit dem t machen?
5 Antworten
Zugabe, da ja die Inverse nicht eindeutig ist und man Bilder nur pro Frage (aber nicht im Kommentar) einfügen kann.
Diesmal unterhalb von
x kleiner -Pi und x oberhalb +Pi
Eindeutig ist nur t=sqrt(x*(x-PI)/sin(x)/PI) als explizite Funktion.
Bild1
(immer wenn sin negativ wird, entsteht eine Lücke, da komplexe Zahlen nicht angezeigt werden)
Probe
Im 2D-Diagramm kann man die Lösungsmenge überprüfen, indem ein Feld von t {im Plotter ist das aB[0] } von -10...4 Schrittweite 0.25 verläuft. Immer wenn bei (1/(PI*aB[0]))*x*x-x/aB[0]-aB[0]*sin(x)
die Nulllinie durchstoßen wird, ist die Gleichung erfüllt. Bild 2
Beispiel: bei x=13
t=sqrt(x*(x-PI)/sin(x)/PI)=9.85346845135351057827168823313381687958
Probe:
(1/(PI*9.85346845135351))*13²-13/9.85346845135351-9.85346845135351*sin(13)
=0 OK
Bei gt(x): (1/(pi) * t) * x²
oder
(1/(pi*t)) * x²?
Kleiner, aber feiner Unterschied.
Zweiteres: (1/(pi*t))*x^2
Und danke für den Hinweis und die aufmerksame Betrachtung!
Hallo, wenn es 1/(Pi*t) heißen soll, kannst Du so vorgehen:
x²/(Pi*t)-x/t-t*sin(x)=0
Die beiden Einser heben sich auf.
Multiplizieren mit Pi*t:
x²-Pi*x-Pi*t²*sin(x)=0
Ohne groß zu rechnen, siehst Du, daß es zwei Nullstellen bei x=0 und x=Pi gibt, denn sowohl der Sinus von x wie der von Pi sind Null.
Wenn x=0, dann auch x²-Pi*x=0, wenn x=Pi, dann x²=Pi² und x*Pi=Pi² und Pi²-Pi²=0
Da sin (Pi) auch Null und 0-0=0, hast Du hier die zweite Nullstelle.
Das t spielt dabei keine Rolle, die Nullstellen bleiben bei beliebigen t die gleichen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das sind die Schnittpunkte, nämlich die Punkte, an denen beide Funktionen gleiche Werte haben.
f(x)=g(x) bedeutet: f(x)-g(x)=0
Das ist zwar soweit korrekt, aber das t spielt bei den Schnittpunkten schon eine Rolle, weil nicht nur 0-0=0 sondern auch für jede andere beliebige Zahl reelle a gilt: a-a=0.
Du hast nur den Fall 0-0 betrachtet. Es gibt nämlich mehr als nur die zwei Lösungen.
t*sin(x) = (1/(Pi*t))x^2-(1/t)*x | x ausklammern
t*sin(x) = (x*(x -Pi))/(Pi*t) |*Pi*t
Pi*t²*sin(x)=x*(x -Pi) | Substitution y=Pi*t²
y*sin(x)=x*(x -Pi) |-x*(x -Pi)
y*sin(x)-x*(x-Pi)=0
y=x*(x-Pi)/sin(x)=Pi*t² oder mit t:
t=sqrt(x*(x-PI)/sin(x)/PI)
x1=0 {Satz vom Nullprodukt}
x2=Pi
x3={inverse x*(x-Pi)/sin(x)} -> nur numerisch lösbar
aber als Grafik per Parameterdarstellung machbar:
Grafik für y: Bild 1
http://www.gerdlamprecht.de/3D-online-Plotter.htm
f(x,y)=y*sin(x)-x*(x-PI)
x(t)=min(t,PI)
y(t)=t>PI?t:t*(t-PI)/sin(t)
Die Lösungslinie verläuft entlang der z=0-Ebene (analog Land-Wasser-Grenze "Meeresspiegel")
Oder Draufsicht Bild 2 die Rote Linie.
ABER:
da t² nicht wie y negativ werden kann (nur mit komplexen Zahlen),
entfallen weitere Lösungen (oder hattet Ihr schon komplexe Zahlen?).
Ich gehe mal davon aus, du meinst bei gt(x) den Term so 1/(πt)*x² und nicht 1/(π)*t*x²
Wie du schon gesagt hast du musst beides gleich setzten:
t*sin(x) = 1/(πt) * x² - 1/t * x
sin(x) = 1/(πt²) * x² - 1/t² * x
sin(x) = 1/(πt²) * (x² - π*x)
Hieran kann man erkennen, dass die Nullstellen der Parabel auf der rechtne Seite nicht von t abhängig sind. Diese sind nämlich x1 = 0 und x2 = π
Dies sind ebenfalls Nullstellen der Sinusfunktion. Nun ist zu untersuchen ob es weitere Schnittstellen gibt. Dazu wird weiter umgeformt bis man den Scheitelpunkt der Parabel ablesen kann.
sin(x) = 1/(πt²) * (x² - π*x)
sin(x) = 1/(πt²) * (x² - π*x + π²/4 - π²/4)
sin(x) = 1/(πt²) * ((x - π/2)² - π²/4)
sin(x) = 1/(πt²) * (x - π/2)² - (1/(πt²))*(π²/4)
sin(x) = 1/(πt²) * (x - π/2)² - π/4t²
Somit kannst du den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ablesen. S(π/2|-π/4t²)
Die Parabel ist immer nach oben geöffnet, weil 1/(πt²) nicht negativ werden kann. Weiterhin ist der Scheitelpunkt immer unterhalb der x-Achse weil -π/4t² nicht positiv werden kann.
Somit kann es im Intervall [0;π] nur die zwei schon bekannten Schnittpunkte geben. Da die Funktion sin(x) und die Parabel symetrisch zu y=π/2 sind, werden mit größerem |t| immer zwei Schnittpunkte mehr dazukommen. Dies hängt davon ab, wie weit die Parabel geöffnet ist. (je größer |t|, desto weiter geöffnet, desto mehr Schnittpunkte)
Für |t| ->∞ wird es also unendlich viele Nullstellen geben. (Die y-Koordinate des Scheitelpunktes strebt immer weiter gegen 0 und die Parabel deformiert zu einer Geraden.)
Aber wie genau man die Schnittpunkte nun herausfinden kann, habe ich keine Ahnung. Mein CAS-Taschenrechner streikt da auch.
In dem Bild ist das nochmal ersichtlich.
Ich danke dir, aber leider suche ich die Schnittpunkte und nicht die Nullstellen. Oder wie komme ich von den Nullstellen jetzt auf die Schnittpunkte?