Schnittpunkte der Funktionen sin(π x) und 2x?
Um den Schnittpunkt auszurechnen muss man die beiden Funktionen gleichsetzen aber ich weiß nicht wie man das dann ausrechnet da man ja mit sinus^-1 auflösen muss.
Danke im Vorraus
4 Antworten
Die Funktion kann man nicht einfach so durch Umformung nach x auflösen.
Die einzigen reellen Lösungen der Gleichung sin(πx) = 2x sind ...
- x₁ = -1/2
- x₂ = 0
- x₃ = 1/2
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Diese Lösungen kann man erraten, indem man beispielsweise eine Skizze macht oder die Gleichung numerisch mit einem Näherungsverfahren löst.
Dann kann bzw. sollte man nachweisen, dass es sich dabei tatsächlich um Lösungen handelt ...
Zum Nachweis, dass es keine weiteren reellen Lösungen gibt, kann man die durch
f(x) = sin(πx) - 2x
gegebene Funktion untersuchen. Die Nullstellen der Funktion f sind genau die reellen Lößungen der Gleichung sin(πx) = 2x.
Ohne jetzt alles ausführlich aufzuschreiben ...
- Für x < -1/2 ist f(x) > 0. Demnach hat f keine Nullstellen im Bereich x < -1/2.
- Für x > 1/2 ist f(x) < 0. Demnach hat f keine Nullstellen im Bereich x > 1/2.
- Im Bereich -2 + arccos(2/π)/π ≤ x ≤ -arccos(2/π)/π ist die Funktion f streng monoton fallend (was man mit Hilfe der ersten Ableitung berechnen kann), weshalb die Funktion in diesem Bereich höchstens eine Nullstelle besitzt. Diese Nullstelle ist -1/2.
- Im Bereich -arccos(2/π)/π ≤ x ≤ arccos(2/π)/π ist die Funktion f streng monoton steigend (was man mit Hilfe der ersten Ableitung berechnen kann), weshalb die Funktion in diesem Bereich höchstens eine Nullstelle besitzt. Diese Nullstelle ist 0.
- Im Bereich arccos(2/π)/π ≤ x ≤ 2 - arccos(2/π)/π ist die Funktion f streng monoton fallend (was man mit Hilfe der ersten Ableitung berechnen kann), weshalb die Funktion in diesem Bereich höchstens eine Nullstelle besitzt. Diese Nullstelle ist 1/2.
wir haben hier eine Gerade der Form y=f(x)=m*x geht also durch den Ursprung
f(0)=2*0=0 und Nullstellen bei y=f(x)=sin(x) bei x=k*pi mit k=0,1,2,3
k=0 x=0=pi*x also x=0
eine Schnittstelle bei x=0
y=f(x)=sin(pi*x) und y=f(x)=2*x liegen punktsymetrisch zum Ursprung.
2*x=sin(pi*x)
0=sin(pi*x)-2*x
Schnittstelle kann nur in der 1.ten Halbwelle von y=f(x)=sin(pi*x) liegen
eine Wertetabelle mach und darauf achten ob sich die Werte auf NULL zubewegen oder entfernen
0=sin(pi*0,5)-2*0,5=0 Nullstelle x=0,5
wegen der Punktsymetrie auch eine Nullstelle bei x=-0,5 links von der y-Achse
f(0,3)=sin(pi*0,3)-2*0,3=0,209..
f(0,4)=sin(pi*0,4)-2*0,4=0,15.. nähert sich als der Nullstelle.
usw.
Direkt nach x umstellen,geht nicht
Man verwendet bei solchen Aufgaben einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe,dass spart unheimlich Zeit.
Nur für die Penne macht man das in "Handarbeit" !!
Man wendet dann die Näherungsformeln von Newton (Tangentenverfahren) und/oder Regula falsi (Sehnenverfahren) an
Ja, ist ein bisschen trickreich.
Aber zunächst mal: 1 Schnittstelle ist x=0, denn sin(\pi*0)=0 und 2*0=0.
Jetzt geht es um weitere Schnittstellen. Dabei ist zu beachten, dass ein sin nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann.
Somit wird x_2=-0,5 und x_3=0,5, denn
sin(-0.5 * \pi)=-1 und 2 * -0,5 = -1
sin(0,5 * \pi)=1 und 2 * 0,5=1
Da gibt es zwei Schnittpunkte: Einer bei x = 0 und einer bei x = 0.5
sin (pi*0) = sin (0) = 2*0 = 0
sin (0.5*pi) = 2*0.5 = 1
@Tannibi
hast x=-0,5 vergessen.