Wie ermittelt man die Funktionsgleichung einer Gewinnfunktion?
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
Ein Studentencafé erzielt bei einem Absatz von 3 ME einen Gewinn von 1,2 GE, bei einem Absatz von 4 ME einen Gewinn von 3 GE sowie einen Gewinn von 2,2 GE beim Absatz von 8 ME.
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion vom Typ G(x) = ax^2 + bx + c. Berechnen Sie die Gewinnzone sowie das Gewinnmaximum.
2 Antworten
Du hast eine Gleichung mit 3 Unbekannten und 3 Wertepaare. Die Wertepaare setzt Du nach und nach ein um die Unbekannten zu bestimmen.
Hier sucht man sich nun eine Variable aus und löst danach auf.
Damit geht man nun zum nächsten Wertepaar.
Diese Gleichung löst man nun entweder b auf und setzt diesen dann nur von a abhängenden Ausdruck in die Gleichung mit dem dritten Wertepaar und auch in den Ausdruck für c ein. Anschließend hat man eine Gleichung, die nur von a abhängt und die man nach a auflösen kann. Den Ausdruck für a setzt man in den Ausdruck für b und c ein und löst so nach diesen Werten auf.
Wir haben hier 3 Punkte gegeben
P1(3/1,2) und P2(4/3) und P3(8/2,2) das ergibt 3 Gleichungen
1) f(3)=1,2=a2*3²+a1*3+ao
2) f(4)=3=a2*4²+a1*4+ao
3) f(8)=2,2=a2*8²+a1*8+ao
ergibt das lineare Gleichungssystem (LGS)
1) 9*a2+3*a1+1*ao=1,2
2) 16*a2+4*a1+1*ao=3
3) 64*a2+8*a1+1*ao=2,2
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio),a2=-0,4 und a1=4,6 und ao=-9
gesuchte Funktion y=f(x)=-0,4*x²+4,6*x-9
Nullstellen x1=2,5 (Gewinn Anfang) und x2=9 (Gewinn Ende)
Maximum xmax=5,75 ymax=4,225
Du siehst da eine Parabel y=f(x)=a*x²+b*x+c
ich habe benutzt y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
mit x=0 → f(0)=a2*0²+a1*0+ao also Schnittstelle mit der y-Achse P(0/ao)
oder mit anderen Buchstaben P(0/c)
Vielen Dank! Was genau ist „ao“?