Für welche ganzen Zahlen x, y, z ist...?

Für welche ganzen Zahlen x, y, z ist

$\left(\sqrt{3}+\sqrt[4]{3}\right)^2=x+y\sqrt{3}+z\cdot3^{\frac{3}{4}}$ ?

Ich hätte es so gemacht:

$\left(\sqrt{3}+\sqrt[4]{3}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt[4]{3}\right)=x+y\sqrt{3}+z\cdot3^{\frac{3}{4}}$

$3+2\cdot\left(\sqrt{3}\cdot\sqrt[4]{3}\right)+\sqrt{3}=x+y\sqrt{3}+z\cdot3^{\frac{3}{4}}$ x = 3

Aber was ist mit y und z ? Wie bekommt man hier für den Rest noch ganze Zahlen raus?

Answer 1

[indiachinacook]

Du brauchst doch nur nach (a+b)² = a² + 2ab + b² auszuquadrieren, dann hast Du es sofort:

Comments

[poscher]

x ist aber 3, nicht 1.

[indiachinacook]

@poscher

Recht hast Du, beim Setzen der Formel ist mir ein Denkfehler reingerutscht, weil ich Deine Angabe nicht mehr genau im Kopf hatte. Ist bereits korrigiert.

[poscher]

@indiachinacook

Perfekt. Ich danke dir.

Answer 2

[Hamburger02]

Wie bekommt man hier für den Rest noch ganze Zahlen raus?

Durch einen Koeffizientenvergleich.

Zunächst multiplizieren wir die linke Seite aus und erhalten am Ende:

3 + 2 * 3^(1/2) + 3^(3/4)

Und nun vergleichen wir das mit der rechten Seite:
x + y * 3^(1/2) + z*3^(3/4)

und erhalten durch den Vergleich der Koeffizienten:
x = 3
y = 2
z = 1

Answer 3

[Schachpapa]

$\sqrt{3}\cdot\sqrt[4]{3}=3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)}=3^{\frac{3}{4}}$ Das ist der Ausdruck, der bei dir in der Mitte steht.

Also ist z=2 und y=1

Woher ich das weiß: Berufserfahrung

Answer 4

[Halbrecht]

Nutze die Potenzregel für die Multiplikatin bei gleicher Basis ( hier 3 ) !

.

w(3)*4tew(3) = 

3^(1/2 + 1/4) = 3^(3/4)