Formel für den Trägheitsmoment von 4 Massen?
Weiß einer zufällig die Formel von dem Trägheitsmoment von 4 Massen, die jeweils um 1/4 verschoben sind, siehe Bild?
3 Antworten
Beim Trägheitsmoment besteht die grundlegende Idee darin die Gleichungen für die Translationsbewegung in die Rotation zu überführen.
Wir hatten ja für die kinetische Energie folgende Gleichung kennen gelernt:
Ekin=(1/2)*m*v^2
Hier war die Überlegung sehr einfach, hier durften wir nämlich annehmen, dass die Gesamte Masse des Körpers als Punktmasse im Schwerpunkt des Körpers liegt. Diese Überlegung dürfen wir bei der Rotation nicht mehr machen.
Bei der Rotation ist die Energie davon Abhängig wie groß der Radius der Punktmasse zur Achse ist also J=m*r^2
die Trägheit der Masse wurde bei der Translation durch die Punktmasse selbst ausgedrückt, bei der Rotation wird sie nun durch das Trägheitsmoment J ersetzt mit J=m*r^2 für EINE PUNKTMASSE. Wir erhalten für die Rotationsenergie so etwas wie:
Erot=(1/2)*J*ω^2
Da wir das ganze für jede Punktmasse über das gesamte Volumen betrachten müssen, müssen wir das Trägheitsmoment eines jeden Masse Punkts berechnen und aufsummieren. wir erhalten also ein Integral:
J=∫r^2*dm
und integrieren über das gesamte Volumen. Nehmen wir z.b. eine Stange die wir bei l*(1/2) rotieren wollen.
Wir überführen das Volumenintegral in ein Linienintegral indem wir uns die Masse genauer anschauen.
die Masse der Stange lässt sich folgendermaßen berechnen:
m=ρ*A*l
das dm ersetzen wir dadurch, integrieren von 0 bis l*(1/2) und schreiben die Konstanten vor dem Integral und multiplizieren das ganze zusätzlich nochmal mit 2, da wir das ja für beide Seiten der Stange machen müssen, da wir die Stange ja in der Mitte rotieren wollen:
J=2*ρ*A∫l^2*dl
Nun rechnen wir das ganze aus:
J=2*ρ*A[(l*1/2)^3/3]=2*ρ*A*(l*1/2)^3/3=(1/12)*ρ*A*l*l^2
wir ersetzen:
m=ρ*A*l und erhalten die Formel:
J=(1/12)*m*l^2
Da wir uns bei deinem Beispiel 4 Massepunkte anschauen mit jeweils gleicher Masse und identischer Entfernung zur Achse brauchen wir also leidglich die jeweiligen Trägheitsmomente aufzuaddieren und erhalten:
J=4*m*r^2
„siehe Bild“
Ich sehe kein Bild. Aber ich gehe mal davon aus, dass die Situation in etwa folgendermaßen aussehen soll...
Dann erhält man für das Trägheitsmoment der 4 Massen bezogen auf den Punkt Z als Zentrum (Drehachse senkrecht zur Bildebene)...
Wenn die 4 Massen jeweils gleich groß sind (m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = m) und den gleichen Abstand zum Zentrum Z haben (r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r), erhält man einfacher...
Also ohne die Skizze zu kennen würde ich jetzt mal allgemein auf den Satz von Steiner tippen.
Ja in dem Fall ists vermutlich ein klassisches Beispiel für die Anwendung des Satz von Steiner.
Ich konnte leider das Bild nicht mit Anhängen. Es sieht aus wie ein Radkreuz nur mit jeweils 1 Masse am Ende.