Extremwertaufgabe Vase?

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7 Antworten

  Dies Teil 2 meinerA nalyse. Ganz analog berechnen wir die Oberfläche als Nebenbedingung.

   O ( r ; h ) = 2 Pi ( r h + r ² ) = O0 = const   (  2a  )

   Die Ableitung einer Konstanten ist Null:

  ( dO/dr ) = 2 Pi [ h + r ( dh/dr ) + 2 r ) = 0 | : 2 Pi ( 2b ) 

       h  +  r  ( dh/dr )  +  2  r  =  0    (  2c  )

   Im Prinzip würde man doch Folgendes tun:

   1)  ( 1c ) Null setzen

    2) Durch das Gleichsetzungsverfahren von ( 1c;2c ) die Ableitung ( dh/dr ) eliminieren ( die bei Lichte besehen ein " Dummy " ist; sie intressiert uns gar nicht. )

   3) Dann erhalten wir eine Gleichung, die r und h miteinander verknüpft.

   4) Für die zwei Unbekannten r und h benötigen wir eine zweite Gleichung; siehe ( 2a )

   Und ausgerechnet hier nun kommt alles anders. Auch in der Algebra muss man etwas " sehen "  ; es fällt nämlich auf, dass ( 2c ) wörtlich zitiert wird in ( 1c )  . ( 2c ) besteht aus drei Termen; suche die selben in ( 1c ) zusammen, mach eine Klammer drum, Schleife drunter mit Anmerkung " = 0 "  Dies ist übrigens eine Eigentümlichkeit bei allen Volumenproblemen, wo Zylinder beteiligt sind; wie ich gefunden habe, kannst du dich dieses Vorteils aber nur erfreuen, wenn du über ID gehst ( und dabei r als unabhängige Veränderliche ansiehst; den Trick muss man kennen. )

   An dieser Stelle nochmal der Hinweis an euren Lehrer: Der pädagogische Weg von ID zu Lagrange ist wirklich nicht sehr weit.

   Aber es endet in einer Katastrofe. ( 1c )

   ( dV/dr )  =  Pi  r  h  >  0      (  3  )

   Und deshalb hatte ich mir anfangs vorbehalten, dass wir ( 1c ) lieber nicht Null setzen; ein lokales Maximum existiert gar nicht.

   Wenn ich r immer größer mache, wächst die Oberfläche der Halbkugel; um dies auszugleichen, muss h entsprechend abnehmen. Den größt möglichen Wert r = R nimmt die Halbkugel an, wenn ihre Oberfläche gleich O0 ist; dann ist h = 0 , der Zylinderanteil ist verschwunden.

   Und ( 3 ) versichert uns nun, dass die Volumenzunahme der Halbkugel netto den Verlust des Zylinders mehr als wett macht; wir haben Entartung.  Umgekehrt wenn r = 0; dann muss nämlich

   O  ( Zyl ) =  2  Pi  r  h  ===>  O0     (  4a  )

   Das geht aber nur, wenn h ===> ( °° )  Und was wäre das Volumen dieses uneigentlichen Zylinders? Wir haben die Identität

   V  ( Zyl )  =  1/2  r  O  ( Zyl )    (  4b  )

   Dann folgt aus ( 4ab ) über einen bekannten Grenzwertsatz, dass dieses Volumen Null sein muss.

   Aber vielleicht habe ich mich verrechnet? Kann  man sowas glauben? Man  kann.

   In dem Konkurrenzportal " Lycos " traf ich auf eines jener Namen losen Genies. Gestellt war das Volumenproblem der " Bushaltestelle " ; das ist ein  Quader mit Dach, links und rechts geschlossen so wie Rückseite. Vorne ist natürlich offen ( Und unten fehlt auch )  Das Volumen sei gegeben; minimaler Materialverbrauch.

    Und hier der Kommentar, der mich elektrisierte:

    " Wir wissen, dass für den Quader die Lösung des Volumenproblems der Würfel darstellt. Ich stelle mir jetzt vor, dass ich die offene Seite der Haltestelle durch einen Spiegel verschließe so wie einen zweiten in den Boden einlasse. "

   Du müsstest mal zählen, wie viel Spiegelbilder das gibt - du kriegst einen geschlossenen Quader; y und z sind doppelt so lang. Das gibt jetzt also 4-faches Volumen. Die Quadratmeterzahl der xy-Dachflächen verdoppelt sich: dazu ihre Spiegelbilder im Bodenspiegel. Insgesamt Mal 4 .

   yz sind die beiden Seitenflächen; diese verdoppeln sich im Vorderspiegel, dazu wieder die Spiegelilder im Bodenspiegel. wieder Faktor 4 . Entsprechend für die Rückfront x z .

   Das Volumenproblem der Bushaltestelle ist äquivalent dem des Quaders, weil beide, volumen wie Oberfläche, durch die Spiegel mit dem selben Faktor 4 gehen.  ( Ich schicke erst ab; Schluss folgt. )

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Kommentar von Timo55
14.09.2016, 23:22

Habe fast alles verstanden danke dir :) 

Nur den Teil mit 1c und 2c verstehe ich nicht, klar sie sind gleich aber was muss ich damit genau machen ich verstehe nicht genau was du mit Klammer drum und "=0" meinst. 

Und dass das Volumen den Zylinders 0 ist resultiert daraus, dass die Höhe 0 ist dementsprechend ist die Oberfläche=0 und weil die Oberfläche in der Formel für das Volumen steckt ist das Volumen auch 0 oder?

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  Mit den fehlerhaften Vorfaktoren, die Fifi abgeliefert hat, will ich mich nicht weiter aufhalten; schon genug, dass ich mich der Mühe unterziehen musste, die Fehler nachzuprüfen. Ich bin heute Nacht nach  reiflicher Überlegung zu dem Ergebnis gelangt, dass ICH im Recht bin und nicht ihr.

    Gegeben eine Klasse von Körpern ( Quader, Ellipsoid, Pyramide, Vase ... ) Das Problem, für jede Klasse bei gegebener Oberfläche das größte Volumen zu bestimmen, will ich als Volumenproblem bezeichnen ( Mit dem Lagrangeformalismus sieht man übrigens trivial ein, dass das reziproke Problem, für gegebenes Volumen die kleinste Oberfläche zu bestimmen, die selbe Lösung hat wie das Volumenproblem. )

   Das Volumenproblem der Vase;

   V ( r ; h ) = Pi ( r ² h + 2/3 r ³ )     (  1a  )

    Dabei stammt der erste Term vom Zylinder und der zweite von der Halbkugel.

    Ich weigere mich übrigens, Nebenbedingungen über das in der Schule so beliebte " Einsetzverfahren " zu berücksichtigen; eine Knochenmühle ist das; und in der Uni macht das auch niemand.

  1) Umkehrfunktionen sind meist nur schwer, häufig gar nicht zu bestimmen.

   2) Die Ableitung von Umkehrfunktionen ist äußerst mühselig.

   3) Durch das Auflösen der Nebenbedingungen wird eine Variable bevorzugt; die Symmetrie des Problems wird zerstört.

   4) Unter dem Strich hast du einen unverhältnismäßigen Mehraufwand für weniger Einsicht.

   Im Zusammenhang mit ( 1a ) wende ich ein Verfahren an, das man Schülern ohne nähere Erläuterung zumuten kann: ===> implizites Differenzieren ( ID ) Hierbei sehen wir r als unabhängige Variable  an; die durch die Nebenbedingung vorgegebene funktionale Abhängigkeit h = h ( r ) wird wie üblich nur über die Kettenregel berücksichtigt.

  ( dV/dr ) = Pi [ 2 r h + r ² ( dh/dr ) + 2 r ²  ] =  ( 1b )

  =  Pi  r  [  2 ( r + h ) + r ( dh/dr )  ]    (  1c  )

   Nein Ableitung ( 1c ) setze ich nicht null. Ich will mir alle Optionen für Später vorbehalten.

   Leider bin ich gezwungen, diesen Zwischenbericht abzuschicken; meine Maus blockiert alle 10 min . Und dann lässt sich der Rechner nur noch durch Stecker Ziehen hoch fahren. Früher hat sich dieses Forum ja auch Vorschautexte Stunden lang gemerkt; doch längst wurde das schlechte Vorbild der Konkurrenz übernommen, sie zu löschen, so bald ich das Forum vertlasse.

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Kommentar von Timo55
14.09.2016, 18:02

Danke dir schonmal bis jetzt kann ich alles nachvollziehen 

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  Dies Teil 3 . Ich bin stark sehbehindert; ( vorgeburtliche Blutungen im Sehzentrum ) und mein IQ bei Aufgaben mit räumlichem Vorstelungsvermögen wurde zu 40 bestimmt.
 Ich hab mir's nochmal überlegt; aber im Prinzip ist es ja ganz einfach.

   Jedes Spiegelbild der Bushaltestelle B1 ist kongruent zu B1 und liefert damit einen identischen Faktor für Volumen und Oberfläche.

   Das Spiegelbild von B1 im Frontspiegel sei B2 und im Bodenspiegel B3 . Im Frontspiegel erblickst du aber gleichzeitig das Spiegelbild des Bodenspiegels, an dem sich B2 spiegelt. Dieses Bild nenne ich B4. Und im Bodenspiegel sehe ich das Spiegelbild des Frontspiegels; das Spiegelbild von B3 stimmt aber überein mit B4; der Vergrößerungsfaktor für Volumen und Oberfläche ist 4 .

   Die Seite der Bushaltestelle parallel zur Straße sei x ; die Höhe z so wie Tiefe y . Dann hat der geschlossene Quader Seiten x , 2 y so wie 2 z .  Lösung des Volumenproblems ist der Würfel; das schreibst du sofort hin

    x  =  2  y     (  5a  )

     2  y  =  2  z  ===>  y  =  z   (  5b  )

   Die Vase verspricht einfacher zu werden. Als Deckel schließen wir sie mit einem Spiegel ab; dann erblickst du eine Hantel. Der Zylinder hat Radius r so wie Höhe 2 h ; dazu kommen jetzt zwei Halbkugeln.

   Jetzt gibt es aber das ===> isoperimetrische Problem ( IP ) ; das ist das Volumenproblem, bei dem zum Wettbewerb beliebige Körper zugelassen sind. So etwas zu lösen, liegt  weit außerhalb der Möglichkeit von Schülern ( Ich selbst müsste da nochmal nachsehen. )

   aber ihr wisst doch trotzdem, was da rauskommt: die Kugel. Wenn also mein Körper besteht aus zwei Halbkugeln ( die dazu noch nicht mal kongruent sein müssten ! ) und " noch etwas " , dann ist dieses Etwas gnaden los zum Untergang verurteilt; einzig die beiden Halbkugeln überleben als Vollkugel. Und deine Vase stellt sich als die eine Hälfte davon heraus; ist doch schön, dass wir das verstanden haben.

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Kommentar von Timo55
14.09.2016, 23:35

Das tut mir leid für dich :/

Habe es mir jetzt mehrmals durchgelesen und langsam komme ich so hinter. Ist am Anfang ziemlich überwältigend, haben auch gerade erste das Thema angefangen.

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  Kannst du das mal so rein stellen, dass man auch was lesen kann? Helfen würd ich dir schon gerne; aber " soo nichtene, meine Herren ene " , wie unser Chef zu sagen pflegte.

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Kommentar von Timo55
13.09.2016, 17:01

Was kannst du denn davon nicht lesen? Ist eigentlich alles so wie es dargestellt wird, wenn man kein Bruch, etc machen kann.

Aber ich hab es gerade sowie gelöst, trotzdem danke 

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  Mit deinem Schrott lasse ich mich keine Sekunde ein. Du solltest mal deinem Lehrer vorschlagen, dass ihr endlich; endlich das ===> Lagrangeverfahren benutzen dürft; gerade den Schwachen unter euch käme das sehr zupass.

   ( Giuseppe Lodovico Lagrangia Spaghettix da Torino )  Ich weigere mich schlicht und ergreifend, etwas anderes zu machen, weil die ganze gebildete Welt es so macht.

   Deinem Lehrer rede ich nicht nach dem Munde - und dir auch nicht.

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Kommentar von Timo55
13.09.2016, 17:12

Was?xD

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Hauptgleichung/Hauptbedingung ist das Volumen.

Nebenbedingung ist die Oberfläche.

Volumen des Zylinders Vz=d^2 * pi/4 * h

Volumen der Halbkugel Vk=pi/6 * d^2 * 1/2

 1 )  also Volumen der Vase V=Vz+Vk=d^2*pi/4 * h + pi/12 * d^2

Oberfläche Zylinder Oz= pi * d * h

Oberfläche der Halbkugel Ok=1/2 * pi * d^2

2 )Gesamtoberfläche O=Oz +Ok= pi*d * h + !/2 * pi * d^2

nach h umgestellt h=(O - 1/2 *pi *d^2)/ d *pi  Hillsvariable T

dies nun in 1 ) eingesetzt und du hast 1 Gleichung mit 1 unabhängigen Variable der Form f(x)

also V(d)= pi/4 * d^2 * (T) + d^2 * pi/12

nun eine einfache "Kurvendiskussion" durchführen auf "Extrempunkte"

"Maximum" und "Minimum"

Bedingung "Maximum" f´(x)= 0 und f´´(x)< 0

       "            " Minimum f´(x)= 0 und f´´(x)>0

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Kommentar von Timo55
13.09.2016, 17:26

Danke dir :) 

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Das stimmt so weit auch. Sehr gut.

Multiplizier die Klammer aus und fasse dann zusammen.

Auf Wolfram Alpha (Google mal danach) kannst du dir den Graphen und Informationen anzeigen lassen, wenn du deine Formel eingibst.

Dann noch Ableiten und die Ableitung gleich 0 setzten. 

Falls dabei Fragen aufkommen geb Bescheid. 

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Kommentar von Timo55
13.09.2016, 15:02

danke, aber wie multipliziere ich diesen komischen Bruch aus?

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