Mathe Extremwertaufgaben Oberstufe?

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6 Antworten

Nachdem ich noch einmal nachgerechnet habe, hier der korrekte Lösungsweg (ein bisschen kürzer, die Erklärungen sind gleich mit denen unten).

2(a + b) = 115 (Umfang inklusive zweier Hauswände)

A(a, b) = ab (Flächeninhalt)

2(a + b) = 115 ⇔ b = 57,5 - a

A(a) = a(57,5 - a) = -a² + 57,5a

A'(a) = -2a + 57,5

0 = -2a + 57,5 ⇔ a = 28,75

b = 57,5 - a = 57,5 - 28,75 = 28,75

Somit ist a = b = 28,75m.

Das ergibt einen maximalen Flächeninhalt von 826,5625m².

LG Willibergi

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Kommentar von Swanery03
09.10.2016, 14:54

Danke genauso habe ich es auch gemacht aber ich habe eine Frage. Was wenn ich den Zaun so um das Haus baue, dass drei Wände mit eingebunden sind. Also einmal die 5m Wand und zweimal die 10m Wand. Ich habe dann eine sehr schmale Fläche aber 25 m 'geschenkt'.. oder nicht? Gesucht ist ja der größtmögliche Flächeninhalt 

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Die Nebenbedingung ist folgende: 2(a + b) = 110 (Länge des Zauns inklusive der Hauswand)

Die Hauptbedingung ist: A(a, b) = a * b (Flächeninhalt der Zaunfläche)

A soll maximal werden.

Dazu stellst du die Nebenbedingung nach einer Variable um:

2(a + b) = 110 ⇔ a = 55 - b

Jetzt kannst du die Hauptbedingung in Abhängigkeit einer Variable aufstellen, indem du die Nebenbedingung einsetzt:

A(b) = (55 - b) * b

Und das multiplizierst du nun aus:

A(b) = 55b - b² = -b² + 55b

Da du offenbar in der Oberstufe bist, nehme ich an, dass du weißt, was Ableiten ist (ansonsten müsstest du quadratisch ergänzen und den Scheitelpunkt ablesen).

Du leitest nun die Hauptbedingung ab, um den Extremwert zu berechnen:

A'(b) = -2b + 55

Die Ableitung setzt du nun null:

0 = -2b + 55 ⇔ b = 27,5

Jetzt setzt du b in die Nebenbedingung ein:

a = 55 - b = 55 - 25 = 30

a ist also 27,5m und b ist 30m lang.

Also: Für a = 27,5m und b = 30m wird der Flächeninhalt maximal mit 825m².

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Kommentar von EstherNele
09.10.2016, 14:31

Hallo Willibergi,

a ist also 27,5m und b ist 30m lang.

Wenn ich U= 2(a+b) rechne, dann komme ich auf 115 m.

Das geht auch, aber nur, wenn du das Haus quasi in die Ecke stellst und 2 Wände des Hauses in den Umfang mit einbeziehst.

Ansonsten würden 5 m fehlen.

Die Nebenbedingung ist folgende: 2(a + b) = 110 (Länge des Zauns inklusive der Hauswand"



- du bist aber von der Einbeziehung einer Wand als Nebenbedingung ausgegangen.

Irgendwo bist du mitten im Rechenweg "umgeschwenkt"

Gruß  Anne

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die nebenbedingung ist Z=2a + 2b und dafür halt der punkt 100

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Ich setze das Haus mal in die Ecke und nutze einmal 5m und einmal 10 m zusätzlich zu den 100m Zaun.

U = 2a + 2b = 115  und A=a*b

Ich stelle die erste Formel nach b um.

U = 115 m = 2a + 2b   ===>  b = (115 - 2a) / 2 = (57,5 - a)

Ich ersetze in der Flächengleichung das b durch die umgestellte
Gleichung 1.

A = a * b = a * (57,5 -a)  = 57,5 a - a²

Bilden der 1. Ableitung und Nullsetzen der Ableitung

A´(a) = 57,5 - 2a = 0      | + 2a

2a = 57,5      | : 2

a = 28,75

b = 57,5 - 28,75 = 28,5

Die abgesteckte Fläche hat Seitenmaße von 28,5 m und 28,5 m.

Das Ergebnis war zu erwarten: ein Quadrat ist die maximale Fläche bei gegebenem Umfang oder minimaler Umfang bei gegebener Fläche.

Und da das Quadrat eine Sonderform des Rechtecks ist, ist die Bedingung "Rechteck" erfüllt.

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Du hast einhundert Meter Draht und darfst eine Seite des Hauses mitbenutzen. Damit hast Du also insgesamt 110 Meter Zaunseiten.

Eine Gleichung lautet, wie Du schon ganz richtig feststellst: A = a * b.

Die zweite Gleichung lautet a + b = 55. (Beim Rechteck sind ja a und c, sowie b und d gleich. Somit bilden a und b die halbe Summe. Hier hast Du 110 m, davon die Hälfte: 55.) Nun möchtest Du eine Funktion der Fläche A in Abhängigkeit von einer Seite aufstellen. Das könnte sein:

A = a * (55-a).

(55-a = b). Daraus brauchst Du nur noch die Ableitung bilden. Und die Nullstelle der Ableitung ist der Optimalwert.

Hoffe, Dir damit geholfen zu haben.

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Du musst ja noch ausnutzen, dass Dri (nur) 100 m Zaun zur Verfügung stehen.

Da ist es natürlich am geschicktesten, wenn Du die 10 m lange Front des Hauses als Begrenzung nutzt - dort musst Du keinen Zaun aufstellen. Dann bleiben Dir als Umgrenzung der Fläche: 2a + b + (b-10). Ds muss 100 m ergeben. (Mach Dir eine Skizze dazu!)

Klar soweit?

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Kommentar von Swanery03
09.10.2016, 14:37

Wäre es nicht sinnvoller das Haus an die 'Ecke' der Rechteckigen Fläche zu platzieren, dann benutzte ich einmal die 5m und einmal die 10m Hauswand und darum dann den Zaun? War das verständlich?

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