Extremwertaufgabe- Kegel im Kegel!?
Ich bin seit einer Stunde an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter... ich habe Probleme bei den Nebenbedingungen und diese dann so umzustellen dass die 2. Ziekfunktion nur noch von einer variablen abhängig ist...
Die Aufgabe lautet wie folgt: In welche Höhe müssen wir den kleineren Kegel (der sich mit der Spitze nach unten im größeren Kegel befindet) legen, damit er ein möglichst großes Volumen hat?
Ziekfunktion (1): V(h,r)= (pi÷3)×r^2×h
Weiter komme ich einfach nicht.. ist zufällig ein Mathe Genie gerade unter euch oder irgendjemand der mir weiterhelfen kann?
3 Antworten
Hallo LAuRA505,
deine Zielfunktion macht schonmal einen guten Eindruck. Ich möchte die Aufgabe natürlich nicht vollständig lösen, aber kann dir vielleicht einen hilfreichen Tipp geben.
Überlege dir, wie man das Volumen des einbeschriebenen Kegels in Abhängigkeit von der Höhe des äußeren Kegels ausdrücken kann, also als V=f(h,R). Hierbei kann ein Querschnitt durch den Kegel hilfreich sein. Man sieht dann, dass der Radius r des einbeschrieben Kegels linear mit der Höhe h abnimmt.
Schreib mal wenn du einen Lösungsvorschlag hast!
StormRider00
Fast richtig, es ist r(h) = R - (R/H)*h deine gesuchte Nebenbedingung!
Ich habe gerade erst gelesen, dass du schon über eine Stunde festhängst. Da wärst du dann wahrscheinlich auch nicht mehr so schnell drauf gekommen.
Vielen Dank! Ich versuche es mal weiter.. ich bin nur immer so verwirrt weil ich keine einzige Größenangabe habe, aber mal schauen :)
"einsetzen" liefert V(h)= (pi/3)*h*(R - (R/H)*h)^2.
Diese Funktion dann einfach auf lokale und globale Extrema untersuchen (1. und 2. Ableitung, Grenzwerte an den Rändern) und du bekommst ein Ergebnis.
1. Schritt : Eine Zeichnung machen
2. Schritt : Ein x-y-Koordinatensystem in die Kegelspize legen (kleiner kegel)
1 ) Haupbedingung V=1/3*pi *r^2 * h
Nebenbedingung liefert der große Kegel
hg Höhe großer Kegel
rg Radius "
2 ) yg=- hg/rg * x + hg Funktionsgleichung der Mantellinie des großen Kegels
mit yg=h in 1) eingesetzt
V=1/3 *pi * x^2 * (- hg/rg * x + hg) hier ist x die Laufvariable ,von der kleinen Kegelspitze aus nach rechts
V(x)=- 173*pi*hg/rg*x^3+1/3*pi*hg*x^2 abgeleitet
V´(x)=0=- pi* hg/rg * x^2 +273 *pi*hg * x dividiert durch - pi *hg/rg
V´(x)=0=x^2 - 2/3 *rg * x hat die Form 0=x^2 +p *x Nullstellen bei x1=0 x2=-p
x1=0 und x2= -(-2/3*rg)=2/3*rg
siehe Mathe-Formelbuch "Gemischtquadratische Gleichung mit q=0
maximales Volumen des kleinen Kegels bei x= 2/3 *rg gemessen von der kleinen kegelspitze nach rechts.
rg Radis des großen Kegels.
Prüfe auf Rechen-u.Tippfehler.
Hm ich versuchs XD
Ich hatte mir schon aufgeschrieben, dass (H-h)÷r = H÷R sein müsste aber mich bringt das nicht weiter und ich glaube das ist auch nicht saß worauf du mich bringen willst... aber ich überlege mal weiter, danke!