Frage von daisyduck12, 53

Exponentialfunktionen in Mathe Klasse 10?

Hallo:) ich habe ein Beispiel einer Aufgabe. Ein Kaufmann hat im 16. Jahrhundert den Gegenwert von 3000 US-$ angelegt. Auf welchen Betrag ist diese Summe nach rund 500 Jahren angewachsen, wenn man von einem jährlichen Wertzuwachs von 4% ausgeht?

Kann mir jmd erklären, wie ich eine Funktion (also f(x)=c*a hoch x) aufstelle mit diesen Angaben bzw auch wie ich das dann mit dem GTR mach, da wir auch angeben müssen nach wie vielen Jahren das Guthaben die Millionengrenze erreicht hat und in welchen Zeiträumen sich das Kapital jeweils verdoppelt?

Vielen Dank:)

Quelle: Lambacher Schweizer 6

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathematik, Schule, 27

Der Wachstumsfaktor a ist möglicherweise erklärungsbedürftig, während
c = 3000 und x = 500 eindeutig sind.

In a stecken die Zinsenprozente drin. Wenn du 4% hast, dann ist jeder Dollar nach einem Jahr um 0,04 $ angestiegen. Das bedeutet: Kapital + Zinsen = 1 + 0,04 = 1,04. Deshalb ist anders als beim Wachstum um das Doppelte oder Dreifache dieser Faktor zu verwenden:

y = c * 1,04 ^ x
Wenn du für c die 3000 und für x eine 500 schreibst, müsste dein Rechenknecht das richtig ausrechnen können.

Nun hast du die Formel ja schon eingegeben. Ich hoffe für dich, dass er diese Formelumrechnungen beherrscht, sonst musst du nämlich erst umformen.

Willst du nämlich die Jahre wissen, wann 1 Million zusammen ist, geht es so:

1000000 = 3000 * 1,04 ^x

Und willst du wissen, wann sich das Kapital immer verdoppelt, kannst du es mit 1 und 2 ansetzen:

2 = 1 * 1,04 ^x

Hier mal der Logarithmus dazu:

1,04 ^x     = 2        | auf beiden Seiten logarithmieren mit ln (Log ist egal)
ln 1,04 ^x  = ln 2    | 3. Log-Gesetz
x * ln 1,04 = ln 2    | /ln 1,04

x = ln 2/ ln 1,04      Möglicherweise will dein Rechner Klammern haben:
x = ln (2) / ln (1.04)        

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 27

Kn = 3000 • 1,04^500

→ Kn = 9,858 • 10^11 US$

---------------------------------------------------------------------------

1 000 000 = 3000 • 1,04^x mit logarithmus berechnen;

x = 148,114

also nach 149 Jahren.

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