Einschreiben von Dreieck, Extremwertprobleme?
Es geht um Aufgabe 313. Alles was ich habe ist U=2*RP+RQ. Weiter komme ich nicht :(.
Ich erwarge keine Lösung, nur einen Anreize. Danke :)
2 Antworten
aber nicht woher der Ansatz für RQ kommt.
Das ergibt sich aus dem Strahlensatz.
CA ist ein Strahl und h ist ein Strahl.
Dann verhält sich RQ/2 zu c/2 wie y zu h:
RQ/2 / c/2 = y / h
Nun ist RQ/2 / c/2 = RQ/c
und y = h - x
also:
RQ/c = (h - x) / h
RQ = c * (h - x) / h = c*h/h - cx/h = 8 - 4/5 x
RP = √x^2 + (RQ/2)^2 = √x^2 + (4 - 2/5 x)^2
= √x^2 + 16 - 8/5 x + 4/25 x^2
= √( 104/25 x^2 - 8/5 x + 16)
= (104/25 x^2 - 8/5 x + 16)^(1/2)
Das setzt man nun in deinen Ansatz ein:
U = f(x) = 2*RP+RQ = 2(104/25 x^2 - 8/5 x + 16)^(1/2) + 8 - 4/5 x
Um das Maximum von f(x) zu finden, müssen wir ableiten:
f*(x) =
= 0
Ein Bruch ist dann = 0, wenn der Zähler = 0 ist:
2√(104x^2 - 1600x + 400) - 4x + 40 = 0
durch 2:
√(104x^2 - 1600x + 400) - 2x + 20 = 0
√(104x^2 - 1600x + 400) = 2x - 20
beide Seiten quadrieren:
104x^2 - 1600x + 400 = 4x^2 - 80x + 400
alles nach links:
100x^2 - 1520x = 0
x(100x - 1520) = 0
x1 = 0
100x2 - 1520 = 0
x2 = 15,2 .....liegt außerhalb des Dreiecks
Ergebnis:
Der Umfang ist maximal für x = 0. Dann beträgt der Umfang U:
U = 2*4 + 8 = 16
...aber irgendwas stimmt bei meiner Rechnung nicht. Da muss ein Fehler drin sein.
Wenn x = 10 wäre, wäre U = 2*10 + 0 = 20
Bei x = 5 wäre U = 15,4
Tjoa, also wie ich mich dafür jetzt angemesen bedanken soll weiß ich nicht. Ich versuchs mal so:
VIELEN VIELEN VIELEN DANK FÜR DIE SUPER LOGISCHE UND VOLLSTÄNDIGE HERLEITUNG!! 👍🏻🙏🏻
Die entscheidende Frage: Wie lässt sich U bzw. die einzelnen Seiten in Abhängigkeit von x ausdrücken?
Es gilt:
RQ = c * (h - x)/h
Test: x = 0
RQ = c * 1 = c
x = 10
RQ = c * 0 = 0
Für RP gilt dann:
RP = √(x^2 + (RP/2)^2 )
Reicht das schon als Ansatz?
..in einer getrennten Antwort, damit ich Bilder einfügen kann.
Jaein. Ich verstehe wie ich jetzt damit weiter machen kann, aber nicht woher der Ansatz für RQ kommt.