Extremwertprobleme mit Nebenbedingung 😅?
Hallo, ich bin gerade am Mathe lernen, allerdings komme ich nicht weiter. Das Thema finde ich extrem schwer.
Unten ein Bild von der Aufgabe. Die a) habe ich noch hinbekommen, mit YouTube usw....
Aber die b)..... Keine Ahnung
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte
Es handelt sich um Nr.15
2 Antworten
Du sollst ein Rechteck mit größtem Umfang errechnen → u = 2·(a+b) ...Hauptbedingung
Die Nebenbedingen hast du bereits mit Bespiel a) aufgestellt.
Einfach eine Variable einsetzen → u' ausrechnen → u'=0 setzen → erhaltenen Wert mit Werten aus a) vergleichen
Das Foto hat eine schlechte Auflösung, ich kann die Funktionsgleichung nicht genau erkennen - aber: Der Punkt (u/v) liegt auf der Funktion → du ersetzt also x durch u und f(x) durch v → damit hast du v=..... (die funktionsgleichung) → jetzt in U=2·(u+v) das v ersetzen → nach u ableiten und 0 setzen → u ausrechnen!
(Das große U ist der Umfang des Rechtecks!)
Merke:Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptgleichnung (Hauptbedingung)
Die Hauptgleichung hat immer mindestens 2 Unbekannte und man muß mit den Nebengleichungen (Nebenbedingungen) Unbekannte in der Hauptgleichung ersetzen, so erhält man dann 1 Gleichung der Form y=f(x)=... mit nur einer unabhängigen Variablen.
Dann muß man eine Kurvendiskussion durchführen und die Extrema bestimmen.
1) Schritt: immer eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat.Das bringt satte "Points".
zu a) Hier soll die Fläche eines Rechtecks (ist die gesuchte Größe) optimiert werden.
1) A=a*b=y*x ist die Hauptgleichung
2) y=-1/8*x³+3/4*x² ist die Nebengleichung
2) in 1)
A(x)=(-1/8*x³+3/4*x²)*x=-1/8*x⁴+3/4*x³
hat die Form y=f(x)=...
nun eine Kurvendiskussion durchführen,Extrema bestimmen
A´(x)=0=-1/2*x³+9/4*x²=x*(-1/2*x²+9/4*x) Nst.: x1=0 und 0=-1/2*x²+9/4*x)
0=x²-9/2*x hat die Form 0=x²+p*x Nst.: x1=0 und x2=-p
x1=0 und x2=-(-9/2)=4,5
nun prüfen,ob Maximum oder Minimum
A´´(x)=-3/2*x²+9/2*x A´´(4,5)=-3/2*4,5²+9/2*4,5=-10,125 <0 also Maximum
b) ist der selbe Rechenweg
1) U=2*y+2*x Umfang vom Rechteck
2) y=-1/8*x³+3/4*x²
2) in 1)
U(x)=2*(-1/8*x³+3/4*x²)+2*x
U(x)=)-1/4*x³+6/4*x²+2*x nun Extrema bestimmen
U´(x)=0=-3/4*x²+3*x+2 Nst.: mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) x1=-0,582.
x2=4,58
prüfen,ob Maximum oder Minimum
A´´(x)=-3/2*x +3 A´´(4,58)=-3/2*4,58+3=-3,87<0 also Maximum
prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.
Die Vorgehensweise ist immer gleich
1) Die Formel für die gesuchte Größe (Hauptgleichung) aufschreiben
2) Die Formeln für die Nebengleichungen aufschreiben.
3) die Nebengleichungen in 1) einsetzen,damit du eine Gleichung der Form
y=f(x)=... erhälst.
Beispiel: Wann ist die Fläche eines "rechtwinkligen Dreiecks" maximal ?
1) A=1/2*a*b Hauptgleichung für die gesuchte Größe
2) sin(a)=Gk/Hy=b/c
3) cos(a)=Ak/Hy=a/c c=Hypotenuse=längste Seite im rechtwinkligen Dreieck
3) u. 2) in 1)
A=1/2*cos(a)*c*sin(a)*c
A=c²/2*cos(a)*sin(a)
siehe Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen
Produkte von trigonometrischen Termen
sin(a)*cos(b)=1/2*(sin(a-b)+sin(a+b))
mit (a)=(b)=(a)
cos(a)*sin(a)=1/2*(sin(a-a)+sin(a+a)=1/2*(0+sin(2*a))
cos(a)*sin(a)=1/2*sin(2*a)
eingesetzt
A(a) =c²/2*1/2*sin(2*a)=c²/4*sin(2*a)
hier wird die Fläche des "rechtwinkligen Dreiecks" maximal,wenn sin(2*a)=1 ist
also 2*a=pi/2=90°
sin(2*45°)=sin(90°)=1
Maximale Fläche bei´m "rechtwinkligen Dreieck" bei Alpha (a)=45°
Amax=C²/4 !!!
Ist eine wichtige Formel,die oft bei Extremwertaufgaben vorkommt.
Könntest du mir eventuell vorrechnen, wie ich vorgehen muss?