Frage von DieChemikerinUsermod Junior, 64

Kann mir bitte jemand dabei helfen, die Nebenbedingung aufzustellen?

Guten Tag, meine Lieben,

ich besuche den Mathe-LK in der 11. Klasse. Ich schreibe in ca. einem Monat meine zweite Klausur und arbeite eben, da Ferien sind, die Themen auf, die ich nicht verstanden habe.

Mein größter Feind sind momentan Extremwertaufgaben. Ich habe es im Unterricht nicht verstanden und auch nur schwer mit der Erklärung meiner Mathelehrerin (die eigentlich sehr gut erklären kann)...

Ich versuche eben - wie immer -, die Aufgaben zu üben und arbeite somit die Übungen im Buch durch. Sobald es um Extremwertaufgaben im Bereich der Wirtschaft geht, kriege ich die super hin. Aber bei geometrischen Extremwertufgaben hapert es doch sehr häufig.

Nun sitze ich hier an einer Aufgabe - ihr findet diese im Anhang. Ich habe mich bereits dran versucht.

Das Einzige, was ich bisher raus habe, ist:

Hauptbedingung: A(x,y) = x*y

Flächeninhalt des Kreises: A(Kreis) = 1250m * pi/2 = ...

So, ich komme allerdings nicht weiter. Ich kapiere überhaupt nicht, wie ich diese Flächeninhalte in Beziehung bringen soll, sodass eine Variable weg fällt. Ich würde mich somit sehr freuen, wenn mir irgendjemand erklären (!) könnte, wie ich die Nebenbedingung hier richtig finde.

Danke im Voraus für eure Hilfe.

LG ShD

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 64

Hallo,

Mach Dir eine Zeichnung, indem Du den Halbkreis so in ein Koordinatensystem einträgst, daß der Mittelpunkt bei (0|0) liegt und die x-Achse bei -50 und 50, die y-Achse bei 50 geschnitten wird.

Dann gilt die Kreisfunktion: x²+y²=50² oder (nach y aufgelöst):

y=√(2500-x²).

Hier steckte Dein Fehler. Du hast die Formel für die Kreisfläche benutzt. Die benötigst Du aber nicht. Du brauchst die Formel für den Kreis selbst, auf dessen Peripherie eine Kante des gesuchten Rechtecks liegen muß.

Diese Funktion ist vorgegeben. Nicht vorgegeben ist, welche Werte Du für das Rechteck x*y einsetzt. Der Trick ist nun, daß Du nur den Teil des Rechtecks betrachtet, der rechts von der y-Achse im ersten Quadranten liegt. Bei der Lösung darfst Du also nicht vergessen, daß Du nur die halbe Breite herausbekommst, Du den Wert für x am Ende also verdoppeln mußt.

Der Sinn der Sache ist, daß Du es nur mit positiven Zahlen zu tun hast, was das Rechnen wesentlich einfacher macht.

Bei solchen Extremwertaufgaben hast Du es in der Regel mit zwei Unbekannten zu tun, x und y, von denen Du eine mit Hilfe der Nebenbedingung eliminieren kannst. Die Funktion, deren Maximum Du suchst, lautet f(x,y)=x*y=A.

Aus der Nebenbedingung weißt Du, daß y=√(2500-x²).

Das setzt Du nun in f(x,y) ein, so daß Du f(x) bekommst:

f(x)=x*√(2500-x²)

Davon brauchst Du nun die Ableitung. Du bekommst sie mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel heraus:

(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x).

u(x)=x, u'(x)=1, v(x)=√(2500-x²), v'(x)=-x/[√(2500-x²)] (Hier habe ich die Kettenregel angewandt und die Tatsache genutzt, daß √(2500-x²) dasselbe ist wie (2500-x²)^(1/2). Dann nimmst Du die innere Ableitung -2x und multiplizierst sie mit der äußeren (1/2)*(2500-x²)^(-1/2):
-x/[√(2500-x²)]. 

Nun setzen wir das Ganze zusammen:

√(2500-x²)-x²/[√(2500-x²)]

Auf einen Nenner gebracht:

[(2500-x²)-x²]/[√(2500-x²)]

Im Zähler kannst Du die beiden x² zusammenfassen:

f'(x)=(2500-2x²)/[√(2500-x²)]

Um das Maximum herauszufinden, mußt Du die Ableitung nun auf Null setzen. Dazu reicht es, wenn der Zähler Null wird, wobei darauf zu achten ist, daß bei der Lösung, die für x gefunden wird, nicht auch der Nenner Null wird.

2x²=2500

x²=1250

x=√1250=35,355

Da x nur die Hälfte der gesuchten Rechteckseite ist, müssen wir den Wert verdoppeln: 2*√1250=70,71

Nun gilt es noch, y zu berechnen. Dazu setzt Du den gefundenen Wert für x in die Kreisgleichung ein: y=√[(2500-(√1250)²]=35,355

x und y sind also gleich groß, das gesuchte Rechteck hat die Seitenlängen

70,71 und 35,355 m

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von DieChemikerin ,

Vielen, vielen Dank, Willy!

Ich finde das trotzdem sehr kompliziert :(

Bin wohl im Mathe LK falsch aufgehoben...

Kommentar von Willy1729 ,

Ach, was. Ich war auch im LK, hatte mit Extremwertaufgaben auch Probleme und habe trotzdem mit 1 abgeschlossen. Wie diese Dinger funktionieren, habe ich im Grunde erst 30 Jahre nach dem Abi kapiert. Also mach Dir nicht ins Hemd. Das kommt alles.

Liebe Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern. 

Willy

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 53

Du löst doch sonst fast jede Matheaufgabe :-)

Ich habe mal Deine Zeichnung ein wenig ergänzt. ich denke, das langt als Lösungshinweis.
Die schwarzen Linien sollen das Koordinatensystem darstellen.

Kommentar von DieChemikerin ,

Okay, danke! Was hat aber die 50 darin verloren? Das kapier ich ncht so ganz...

Kommentar von KDWalther ,

Das dürfte sich anhand der anderen Antworten/Kommentare inzwischen geklärt haben. Oder nicht?

Übrigens: Ich persönlich verwende für den Punkt rechts oben des Rechtecks häufig die Koordinaten (x|y), insbesondere wenn das Rechteck unter den Graphen einer Funktion gelegt wird. So ist x immer positiv (wichtig beim Flächeninhalt; vgl. willy1729). Dann wäre der Inhalt des Rechtecks hier zwar A = 2x·y, das erschwert die weitere Rechnung aber nicht und man hat es nicht (möglicherweise) mit x/2 zu tun.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

Dieser Typ von Aufgabe wird sehr oft gestellt.Hier wird ein Rechteck unter einer Kurve f(x) gesucht,dass eine maximale Fläche haben soll .

Es gilt immer A= y * x hier ist A die Fläche des Rechtecks

Beispeil y= - 0,5 * x^ + x +5 eingesetzt in Formel ergibt 

A= (-0,5 *x^2 +x +5) *x = - 0,5 * x^3 + x^2 +5 

diese Funktion wird dann  auf Extremstellen untersucht,wo sich dann die gesuchte Stelle x befindet,wo A ein Maximum oder Minimum ist

Problem hier:,Dies ist eine Kreisgleichung y=(r^2 -x^2)^0,5

hier kann x nicht einfach hineinmultiplizeirt werden.

Es gibt nun einen 2.ten Weg

es gilt A= große Fläche  - kleine Fläche, Formel A= Ag - Ar

Ar ist die Rechteckfläche und Ag ist die große Fläche im Kreis

Wegen der Symetrie kann man in den Grenzen x1=0 und x2= r =50 rechnen.

große Fläche  A=S (r^2 -x^2)^0,5 * dx Lösung des Integrals aus dem Mathe-Formelbuch

y=f(x) = x/2 * (a^2 -x^2)^0,5 + a^2 /2 * arc sin (x/a)

untere Grenze x1=0 ergibt  A=0

obere Grenze x2=50 ergibt Ag=1963,49 FE

mit A= Ag - Ar = Ag - y * x=1963,49 - (r^2 -x^2)^0,5 * x

Wenn nun Ar maximal wird,dann wird A zum Minimum. Also muss die Funktion abgeleitet werden.

Die Konstante fällt weg und es bleibt - (r^2 -x^2)^0,5 * x 

Dies wird nach der Produktregel abgeleitet (u * v)´= u´ * v + u * v´

Das brauch ich hier nicht vormachen.

Übrig bleibt A´=2 *x^2 - r^2 = 2*x^2 - 2500 Nullstellen bei x1= - 35 ,55 und         x2= 35,55

Das Maximum der Rechteckfläche ist bei x= 35,55 m

Wegen der Symstrie geht die Fläche von - 35,55 m bis 35,55 m 

Kommentar von DieChemikerin ,

Behandelt man in Q2 Integrale? Ich denke nciht. Daher ist der zweite Weg zu kompliziert.

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 53

Der Radius ist R = 50 m.

Dann gilt der Satz des Pythagoras wiefolgt:

R² = (1/2 x)² + y²

2500 = 1/4 x² + y²

y = sqrt( 2500 - 1/4 x² )

Um die Fläche des Halbkreises geht es in der Aufgabe nicht.

HB: A(x,y) = xy

und jetzt die NB einsetzen, führt dann auf

A(x) als Zielfunktion

Kommentar von DieChemikerin ,

Danke. Ich kapier's ehrlich gesagt trotzdem nur so halb.

An solchen Stellen sage ich dann wirklich "ich hasse Mathe"...

Kommentar von everysingleday1 ,

Zeichne vom Mittelpunkt des Halbkreises zum oberen rechten Eckpunkt des Rechtecks den Radius R ein. Dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse R und den Katheten 1/2 x und y.

Kommentar von DieChemikerin ,

Stimmt, danke!

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