Extremwertaufgabe dreieck?
Hallo,
Wir hatten letzte Woche Matheschularbeit und müssen diese jetzt verbessern. Allerdings weiß ich einfach nicht wie ich die eine Extremwertaufgabe lösen soll.
Die Angabe:
Einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten d= 30cm und e= 40cm soll ein Rechteck eingeschrieben werden, so dass eine Seite auf der Hypotenuse c des Dreiecks liegt. Welche Abmessungen (a und b) muss das Rechteck haben, damit sein Flächeninhalt maximal ist?
Die Hauptbedingung ist f(a,b)= a*b
und c lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: c= 50cm
Und die Nebenbedingung ist nicht mit dem Strahlensatz
Mehr habe ich bis jetzt noch nicht.
Ich habe überlegt, dass die Nebenbedingung: a=50-x
Weiß aber nicht wie ich dann weiterrechnen soll...
Ich wäre über jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße,
Charlie
3 Antworten
Hallo,
berechne die Höhe des Dreiecks nach a²=p*c und h²=p*q=p*(50-p).
Da a und c bekannt sind, läßt sich zunächst p berechnen und daraus dann auch h.
Zur Kontrolle: p=18 und h=24.
Nun verhält sich die Höhe (24) zu c (50) nach dem zweiten Strahlensatz wie
24-y (y sei die Höhe des Rechtecks) zu x.
Aus (24-y)/x=24/50 läßt sich x in Abhängigkeit von y ausdrücken, so daß Du in der Zielfunktion F=x*y eine Unbekannte eliminieren kannst.
Danach ableiten und Ableitung gleich 0 setzen.
Zur Kontrolle: Bei x=25 und y=12 wird die Rechteckfläche maximal.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
wenn du das Dreieck so legst wie in meiner Abbildung, ist es relativ einfach.
a=x
b=f(x)-g(x)
Alle Angaben in der Abbildung sind in Dezimeter. 😀
Ab hier in Zentimeter.
A(x)=x•(-4/3 •x+32-0,75•x+18)
Ausmultiplizieren, ableiten, Maximum bestimmen.
A(x)=50x-25/12 •x²
A'(x)=50-25/6 •x=0 --> x=12
A''(x)=...
A(12)=50•12-25/12 •12²=300
A=300cm²
🤓
PS:
Frag gerne nach.
😀
Die y-Achsenabschnitte sind die Hypotenusenabschnitte p und q des Dreiecks. Die gemeinsame Nullstelle entspricht der Höhe h des Dreiecks.
Damit hast du je zwei Punkte und kannst die Steigungen berechnen.
Formeln:
h=a•b/c=30•40/50=24
a²=p•c --> p
b²=q•c --> q
😀
Die andere Nebenbedingung ist: B muss die länge der Hyperthenuse sein
Hey, danke für die ganze Mühe! :)) Die Skizze ist prinzipiell genauso wie es sein soll. Aber ich verstehe ehrlich gesagt nicht ganz wie du auf die beiden Funktionen kommst?