Eeingezeichnete geraden bestimmen?
Aufgabe:
Die Punkte P, Q und R sind Mittelpunkte von Seitenkanten. Bestimmen Sie für die eingezeichneten Geraden jeweils eine Parameterdarstellung. Legen Sie dazu ein geeignetes Koordinatorensystem an
Wie soll man das ohne konkrete Zahlen machen? Bitte ein Beispiel
2 Antworten
Ohne konkrete Zahlen geht es auch - man nimmt dann halt Buchstaben, (zb a b c) oder Namen (zb Länge, Breite, Höhe).
Aber zum Glück hast du ja im Bild konkrete Zahlen ;-)
Du suchst dir einen Eckpunkt (zB den links unten) aus - den verwendest du als Ursprung des Koordinatensystems, also (0/0/0).
Dann geht die Gerade g durch die Punkte (0/0/0) und (6/4/3)
die Gerade h durch die Punkte R(0/2/3) und Q(6/2/0)
... usw.
Und was ist damit gemeint, dass man ein geeignetes Koordinatensystem fest legen soll?
Genau das: "Du suchst dir einen Eckpunkt" (siehe mein voriger Kommentar). Du kannst natürlich auch einen anderen Punkt nehmen. "Geeignet" sind hier auf jeden Fall alle Eckpunkte des Quaders, aber auch die eingezeichneten Halbierungspunkte. Welchen du nimmst, ist egal; aber das Ergebnis sieht natürlich jedes mal anders aus.
Ohne konkrete Zahlen? Es sind alle benötigten Seitenlängen angegeben und die Punkte PQR liegen laut Aufgabenstellung in der Mitte der jeweiligen Strecke.
Z.B. ist g^2 = 6^2 + 3^2 + 4^2
Bei h ist es einfacher, denn das ist gleich der Länge der Diagonalen im vorderen Rechteck mit den Seiten 3 und 6.
Die Länge im Raum ist die Wurzel der Summe der quadrierten Längen in x, y und z Richtung:
Länge = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
Du sollst die Längen der Strecken g, h, i, k berechnen. Die Lösung für g habe ich bereits geschrieben. Für h ist es auch mit dem Satz des Pythagoras direkt bestimmbar. Du hast alle Teilstrecken gegeben und brauchst nur in die Formel für die Länge einzusetzen.
Aber ich muss doch die Parameterdarstellung angeben
Und was ist damit gemeint, dass man ein geeignetes Koordinatensystem fest legen soll?
Meine bisherigen Antworten haben die Frage nicht getroffen - sorry.
Lege ein Koordinatensystem mit dem Ursprung in die linke vordere Ecke (willkürlich! Es geht auch jeder andere Punkt!). Dann lege die X-Richtung nach rechts, y nach hinten und z nach oben (Rechts-System). Parameterform der Geradengleichung:
g: r = p + lambda * n
Also alle Ortspunkte r, die von einem Punkt p starten und Vielfache in Richtung n.
Die Gerade g startet im Ursprung des Koordinatensystems und n ist die Diagonale im Quader (6, 4, 3)' . Also:
g: r = lamda * (6, 4, 3)'
Die Gerade k startet in der Ecke (6, 0, 0)' und hat die Richtung (-3, 4, 3).
Ob du h in Q oder R starten lässt, ist Geschmackssache. Q ist jedenfalls (6, 2, 0)' und der Richtungsvektor ist (-6, 0, 3).
Jetzt klarer?
Es geht um Geraden in der Parameterdarstellung. Diese Darstellung ist definiert durch einen Aufpunkt an beliebiger Stelle auf der Geraden und einen Richtungsvektor entlang der Geraden. Lambda (oder welchen Buchstaben man auch immer verwenden mag) ist dann der Faktor, um zu jedem Punkt der Gerade zu gelangen.
Die Aufgabe ist es also, 1. Irgendwo ein Koordinatensystem in dem Quader zu erstellen, 2. einen Punkt auf den jeweiligen Geraden zu bestimmen, 3. einen Richtungsvektor für diese Geraden zu bestimmen. Damit ist die Aufgabe gelöst, wenn man die Geraden dann noch in der gewünschten Parameterform aufschreibt.
Wenn es hier noch Unklarheiten gibt: Wie habt ihr denn die Parameterform definiert?
Dann ist das "lambda" dein "r". Welchen Buchstaben man wählt, ist ja völlig egal.
Ich verstehe trozdem nicht, was man da machen muss..