Gerade durch 2 Windschiefe Geraden?
Hallo, kann mir jemand sagen wie man diese Aufgabe löst:
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden die die windschiefen Geraden im rechten Winkel schneidet.
Wie gehe ich diese Aufgabe an?
3 Antworten
Es gibt mehrere Antworten. Wenn du die Hessesche Normalform kennst, bestimmst du zunächst eine Hilfs-Ebene aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden ( Vektorprodukt) und bildest die Normalenform mit dem Aufvektor der ersten Graden und daraus die Koordinatenform der Ebene.
Bei Bestimmung der Hesseschen Normalform der Ebene brauchst du nur noch durch den absoluten Betrag der Normale zu dividieren und hast eine Distanzformel.
In diese wiederum setzt du den Endpunkt des Aufvektors der zweiten Gerade ein.
Ergebnis: Abstand der windschiefen Geraden.
Das war jetzt zuviel.
Da du ja nur die orthogonale Gerade haben wolltest, berechnest du sie dir aus dem Normalenvektor.
Du weißt, wie Du den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnest? Das geht heutzutage meist darüber, dass man einen Punkt P auf g und einen Punkt Q auf h so bestimmt, dass der Vektor PQ auf beiden Geraden orthogonal steht. (Die Länge von PQ ist der Abstand von g und h.)
Nun brauchst Du "nur noch" eine Gerade durch P und H aufzustellen - fertig :-)
Da Du keine konkreten Zahlenwerte angegeben hast, beschreibe ich Dir ganz allgemein eine Vorgehensweise; hier nochmal eine (krakelige :D) Skizze zur Aufgabenstellung:
Die beiden windschiefen Geraden seien also durch die Fusspunkte a und b und die zugehoerigen Richtungsvektoren u und v definiert (Fettdruck symbolisiert, dass es sich um Vektoren handelt). Den Verbindungsvektor der Fusspunkte nenne ich abkuerzend d = a - b.
Nun suchst Du einen Punkt A auf g und einen Punkt B auf h - und zwar so, dass der Verbindungsvektor AB = B - A sowohl senkrecht zu g als auch senkrecht zu h steht (wie in der Skizze oben angedeutet). Du musst also das lineare Gleichungssystem (LGS)
nach den beiden Unbekannten s und t aufloesen. Wenn Du s und t bestimmt hast, kennst Du die Lage von A und B und damit automatisch auch die gesuchte Gerade: Als Fusspunkt koenntest Du ja A nehmen und als Richtungsvektor einfach AB.
Ich nehme an, dass Du das LGS fuer konkrete Zahlenwerte von Hand oder mit dem Taschenrechner loesen wirst, oder? Falls Du eine Loesungsformel wuenscht, bittesehr:
Der Term im Nenner ist positiv, da die Geraden nicht parallel verlaufen.
