Dreieck dritteln?
Hallo zusammen
In der Trigo haben wir folgende Aufgaben bekommen.
Wie gehe ich die am besten an?
danke für Eure Vorschläge
lg E.
8 Antworten
am einfachsten ist das zeichnerisch.
Beim gleichseitiges Dreieck sind alle Winkel 60°
Nimm für die Seitenlänge a=4 cm
2) Mit den Cosinussatz, siehe Mathe-Formelbuch ,"Geometrie" ,"schiefwinkliges Dreieck"
Winkel (a)=60°
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cos(60°) mit c=b/3
a^2=b^2+b^2/9-2*b*b/3*cos(60°) mit b=4 cm frei gewählt kannst du nun
a ausrechnen und hast somit 3 Seiten des Dreiecks
mit den Sinussatz kannst du dann die anderen beiden Winkel ausrechnen.
da die Abweichung weniger als 1 Grad beträgt, kannst Du nicht genau genug messen.
Glaub mir, die Winkel haben nicht 20°, sondern ungefähr 19,1° (die beiden äußeren) und 21,8° (der mittlere).
Wenn Du ein Geometrieprogramm besitzt, kannst Du es genauer zeichnen und ausmessen.
Danke vielmals!
So genau konnte ich es nicht messen und zum rechnen war ich zu faul,weil man mir die Arbeit nicht bezahlt.
a = Seiten des gleichseitigen Dreiecks
Teile das mittlere Dreick in zwei rechtwinklige Dreiecke
Jedes der 2 Dreiecke hat in der Spitze den Winkel α/2
Die Gegenkathete ist a/6, die Ankathete = √(a² - (a/2)²) = a/2 • √3
tan(α/2) = (a/6) / (a/2 • √3) = 1 / (3 • √3)
α = 2 • arctan(1 / (3 • √3)) = 21,8°
Die beiden anderen Winkel sind dann
β = (60° - α) / 2 = 19,1°
0°
mit winkelfunktionen
die eine seite ist x und die andere 1/3 2/3x
Hallo,
in dieser Aufgabe steckt eine böse Falle, auf die ich fast auch hereingefallen wäre.
Du betrachtest die Teildreiecke und stellst fest, daß die Dreiecke mit den Winkeln alpha 1 und alpha 3 kongruent sind, denn sie haben die Seiten a und a/3 gemeinsam sowie einen Winkel (60°).
Somit muß für alpha 1 und alpha 3 gelten: alpha 1=alpha 3.
Da sich die drei Teilwinkel zu 60° ergänzen und zwei von ihnen gleich sind, könnte man nun (habe ich zu Anfang auch getan) den falschen Schluß schließen, daß auch alpha 2=alpha 1 oder alpha 3, womit Du auf alpha 1=60/3=20° kämst.
Der Irrtum liegt darin, daß die beiden äußeren Winkel zwar tatsächlich gleich groß sind, daß dies für den mittleren aber nur bedeutet:
alpha 2=60-(alpha 1+alpha 3)=60-2*alpha 1.
Mehr wissen wir zunächst nicht.
Im Lösungsvorschlag wurde ein rechtwinkliges Dreieck durch Fällen einer Höhe auf a konstruiert, mit dessen Hilfe und dem Tangens sich alpha 1 und damit natürlich auch die beiden anderen Winkel bestimmen lassen.
Von dem rechtwinkligen Dreieck unten rechts in der Ecke Deiner Skizze kennen wir eine Seite (a/3), und die Winkel (60°, 90° und 30°).
Vom Tangens gilt, daß er das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist.
Daher gilt:
tan (60)=h/x und somit: h=x*tan (60).
Das Stück links vom Höhenfußpunkt ist a-x.
Somit gilt vom Tangens des gesuchten Winkels alpha 1:
tan (alpha 1)=h/(a-x), wobei h durch x*tan (60) ersetzt werden kann:
tan (alpha)=x*tan (60)/(a-x)
x aber ist wiederum die Ankathete zum Winkel (60°) in dem kleinen rechtwinkligen Dreieck. Dort gilt: cos (60)=x/(a/3)=x*3/a
Der Kosinus von 60° ist aber bekanntlich 1/2.
Daher: 1/2=x*3/a
x=(1/2)*a/3=a/6
Somit ist a-x=5a/6
Nun haben wir alles, was wir brauchen, um den Tangens von alpha 1 zu bestimmen:
tan (alpha 1)=h/(a-x)=x*tan (60)/(a-x)=tan (60)*a/6/(5a/6)=(1/5)*tan (60).
a kürzt sich hierbei weg, was logisch ist, denn an den Winkeln eines Dreiecks ändert sich nichts, wenn man die Seiten um den gleichen Faktor streckt.
Du brauchst also nur noch den Arkustangens von tan (60)/5 und kommst so auf den Winkel in der Lösung.
Wie gesagt, ist alpha 1 gleich alpha 3 und alpha 2 ist gleich 60 minus zweimal alpha 1.
Ich persönlich hätte a von vornherein auf 1 gesetzt, die unterste Strecke, die di Seite a drittelt, nach dem Kosinussatz ermittelt und dann mit dem Sinussatz weitergemacht.
Führt natürlich zum gleichen Ergebnis.
Zur Kontrolle: alpha 1=19,10660535°
Herzliche Grüße,
Willy
Herzliche Grüße,
Willy
oder so?
a = Seiten des gleichseitigen Dreiecks
Teile das mittlere Dreick in zwei rechtwinklige Dreiecke
Jedes der 2 Dreiecke habe in der Spitze den Winkel α/2
Die Gegenkathete ist a/6, die Ankathete = √(a² - (a/2)²) = a/2 • √3
tan(α/2) = (a/6) / (a/2 • √3) = 1 / (3 • √3)
α = 2 • arctan(1 / (3 • √3)) = 21,8°
Die beiden anderen Winkel sind dann
β = (60° - α) / 2 = 19,1°
Mach dir erstmal eine Skizze, dann wird alles klar(er):
Es genügt eigentlich, das mittlere Dreieck zu betrachten und über die Höhe des gls. Dreiecks dessen Winkel zu bestimmmen (tan bzw. cot).
Die übrigen Winkel ergeben sich durch simple Subtraktion u. Division und dem Wissen um die Innenwinkel in einem gls. Dreieck.
Mit a=1 machst Du es noch einfacher.
Herzliche Grüße
Willy