Hallo, Ich haben folgende Frage:„Eine Figur wird so verkleinert, dass sich alle Längen dritteln. Wie ändert sich der Flächeninhalt"?

Intuitive Antwort: 1/9. Das liegt daran, dass die meisten Flächenformeln auf irgendeine Weise eine Länge a hat, und die Fläche in irgendeiner Form proportional zu a² ist. Dann rechnet man nur (1/3)² = 1/9. Wenn man jetzt in einer Figur keine Länge mehr hat, die man identifizieren kann, oder die Flächenformel nicht bekannt ist, kann das ganze sehr schwer werden.

Deshalb jetzt die theoretische Antwort, die etwas in die Materie eingeht, aber für alle zweidimensionalen Figuren gilt. Ist F eine Figur mit endlicher Fläche, dann ist diese definiert als das Integral über der charakteristischen Funktion von F (wir gehen mal von Integrierbarkeit aus).

Also: A(F) := ∫χF dxdy, das Integral natürlich über den gesamten R² bzw. den kompakten Träger.

Verändern wir nun jede Länge im Raum um den Faktor 3, dann transformieren wir den Raum in (x,y) -> (u,v) = (1/3 x, 1/3 y).

Integrieren wir jetzt wieder ∫χF in Koordinaten u und v, dann müssen wir den Jacobi-Korrekturfaktor davorhauen, das ist die Determinante aus der Matrix, die aus den Partiellen Ableitungen besteht, das sagt der Transformationssatz aus. Kurz:

∫χF.dxdy = ∫det|D[J]|χF.dudv

Wir haben eine 2x2-Matrix, die sieht folgendermaßen aus:

DJ = | 1/3  0  |
     | 0   1/3 |

Folglich det(DJ) = 1/9 und ∫χF.dxdy = 1/9 ∫χF.dudv

Und genau diese Determinante sagt uns, wie sich jedes kleine Rechteck dxdy zu einem Rechteck dudv verhält, also insgesamt auch die Flächenveränderung unserer Figur.

LG

Hallo Ameloe, 

nein, das hängt nicht von der Figur ab, sondern gilt für alle Flächen:

Quadrat: a² = (a/3)² * x | : (a/3)²

a² : (a/3)² = x

a² * 3² / a² = x

3² = x

Kreis: pi r² = pi (r/3)² * x | : pi (r/3)²

pi r² : pi (r/3)² = x

r² * 3² / r² = x

3² = x

Natürlich kannst Du das mit jeder beliebigen geometrischen Form machen. Das Verhältnis der Flächen ist immer 3² also 9.

Gruß Friedemann

Der Gesichtspunkt ist:
wieviele lineare Elemente gibt es in der Formel und wie sind sie organisiert, also linear oder quadratisch.

Bei a² vermehrt/vermindert sich eine Fläche auf das Vierfache/Viertel der Streckung/Stauchung.

Bei ab entsprechend auch.

Aber bei ab/c kürzt sich eine Streckung wieder heraus. Wird dort verdoppelt, ist auch die Fläche nur verdoppelt.

Alle Veränderungen kann man schnell berechnen, wenn man zum Beispiel bei Verdoppelung die maßgeblichen Stücke in der Formel mit dem Faktor 2 versieht und diesen nachher aus der Formel so ausklammert, dass die Ursprungsfläche zum Vorschein kommt.

g * h / 2     Streckung auf das Doppelte:  2g * 2h / 2  =  4 * gh/2
π r² h         Stauchung auf 1/3:  π * (1/3 * r)² * 1/3 * h = 1/27 π r² h

Quadrate gibt es nicht!

Flächen sind 2-dimensional. Wenn eine Figur um den Faktor k gestreckt / gestaucht wird, ändern sich alle Flächeninhalte der Figur um den Faktor k^2.

Da (1/3)^2 = 1/9 ist, ändert sich der Flächeninhalt bei einer Stauchung um den Faktor 1/3 auf 1/9 des ursprünglichen Flächeninhalts.

Wie hängt denn die Fläche von der Länge ab... wenn du ein Quadrat
10x10, also 100 Fläche hast, und du halbierst die Längen... was kommt raus?