Berechnen sie die Steigung der Funktion f mit Hilfe des Differenzquotienten?
Könnte mir jemand erklären wie man solche Aufgaben lößen tut?
Am Beispiel z.B. von f(x)=0,5x+1.
5 Antworten
Hallo Xyrith.
Kompliziert gestellte Aufgabe für einen sehr einfachen Weg.
Den Differenzenquotienten lernst du zwar schon früh kennen, aber sowohl den Begriff als auch das ganze drum herum wird dir eigentlich erst in der Oberstufe vermittelt.
Der Differenzenquotient ist die...
- mittlere Änderungsrate
- durchschnittliche Steigung
- Sekantensteigung
Die Begriffe führen alle auf das gleiche hinaus, helfen aber schon weiter.
Eine Sekante (Gerade) schneidet die Funktion immer in (mindestens) zwei Punkten. Zwischen diesen beiden Punkten berechnest du dann die durchschnittliche Steigung.
Du berechnest dabei also die Steigung zwischen zwei Punkten. Und das bringt uns zu folgender Formel, dem Differenzenquotienten:
► m = (y2-y1) : (x2-x1)
Die Formel ist dir sicherlich bekannt. Du kennst sie wahrscheinlich mit einem Bruchstrich seit den linearen Funktionen, wo du z.B. auch eine Gerade im Koordinatensystem gesehen hast und die Steigung berechnen solltest.
Du hast nun folgende Funktion vorliegen:
► f(x) = 0,5x + 1
Den Graphen der Funktion siehst du auch im Bild nochmal.
Die Steigung kannst du hier bereits ablesen. Sie beträgt m=0,5. Dennoch sollst du sie ja mit dem Differenzenquotienten berechnen. Dafür setzt du einfach mal zwei beliebige x-Werte ein, um dann zwei Punkte zu haben, die wir anschließend in die Formel einsetzten können.
Ich nehme mal die Werte x=2 und x=4.
f(2) = 0,5*2 + 1
f(2) = 1 + 1
f(2) = 2
► Das ergibt also den Punkt P1 (2|2).
f(4) = 0,5*4 + 1
f(4) = 2 + 1
f(4) = 3
► Das ergibt dann den Punkt P2 (4|3).
Nun setzten wir in die genannte Formel, den Differenzenquotienten ein:
m = (y2-y1) : (x2-x1)
m = (3-2) : (4-2)
m = 1/2
► ► m = 0,5
Stimmt auch mit dem vorher abgelesenen Wert überein.
Tipp für weitere Aufgaben:
Die Funktion f ist hier linear gewesen. Das heißt, die Steigung ist immer gleich. Demnach stimmen auch die momentane und durchschnittliche Steigung immer überein. Doch das gilt ab den quadratischen Funktionen dann nicht mehr. Dann musst du auch immer zwischen genau zwei Punkten die durchschnittliche Steigung berechnen. Das Gegenteil des Differenzenquotienten ist der Differenzialquotient.
Der Differenzialquotient ist die momentane, also aktuelle Steigung bzw. Änderungsrate (Ableitung).
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Bei Fragen stehe ich gerne bereit! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Du benötigst dafür zwei Punkte (bsp: A(2;4) B(4;6)
Nun errechnest du die Steigung indem du
(Y2-Y1)/(X2-X1) rechnest also (6-4)/(4-2)=2/2=1
Die steigung einer gerade, die durch die oben genannten Punkte verläuft wäre also 1..
mfg
Florendil
Edit:
/ bedeutet geteilt durch
() bedeutet zuerst rechnen
Differenzquotient, da man die beiden Differenzen dividiert und somit einen Quotienten der beiden Differenzen erhält
Ganz einfach:
Der Differenzenquotient ist definiert als Delta f (x)/Delta x (y2-y1/x2-x1):
Heißt also:Du brauchst zunächst 2 Punkte von f(x).Diese könnten sein:
f(1)=0,5*1+1=1,5,also P1(1|1,5)
f(2)=0,5*2+1=1+1=2,also P2(2|2)
Diese Punkte setzt du nun in die Formel für den Differenzenquotienten ein,denn er ist die Steigung der Funktion:
(2-1,5)/(2-1)=0,5/1=0,5
Damit ist die Steigung der Funktion 0,5.
Wesentlich einfacher wäre das Ablesen der Steigung.So ist nämlich f(x) eine lineare Funktion der Form f(x)=mx+n,wobei m die Steigung ist und daher direkt abzulesen ist.
Liebe Grüße und noch einen schönen Abend.
Nun, bei der linearen Funktion ist der Differentialquotient identisch mit dem Differenzenquotienten, der Steigung - in Deinem Fall 0,5.
Naja die Steigung m einer jeden Geraden sieht man an der Funktionsgleichung:
f(x) = m*x + n
In deinem Fall ist die Steigung der Funktion also 0,5
Okei danke, jedoch habe ich es somit OHNE den Differenzquotienten berechnet, jedoch sollte man dies mit machen.
Deine Antwort hat nichts mit dem Differenzenquotienten zu tun. Die Steigung ist einfach nur abgelesen.