(Benötige Hilfe in Mathe!) Die Null - Linie
Die Aufgabe lautet : Geben Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion an, die den Grad 3 und die Nullstellen 2,5 und -3 hat. Diese Aufgabe sollen wir in einer Gruppenarbeit bearbeiten und wir hängen ziemlich hinterher, deshalb bitte ich um Hilfe :D:D. Lösungsvorschläge sind gerne gesehen, aber auch nur jeder Tipp dazu ist schon hilfreich :)
Danke im Vorraus
4 Antworten
Jede ganzrationale Funktion, deren Nullstellen x1, x2, ... xn bekannt sind, lässt sich als Produkt
y = a(x -x1)(x -x2) ... (x -xn) (1)
darstellen.
Falls 2,5 eine einzige Zahl ist, muss im vorgelegten Fall eine der Nullstellen eine doppelte sein, denn es lässt sich zeigen, dass eine ganzrationale Funktion dritten Grades nicht zwei einfache reelle Nullstellen haben kann. (2)
Also hat die Produktdarstellung (1) zwei gleiche Faktoren.
Hinweis: Eine solche Funktionen hat ein paar interessante Eingeschaften: Sie berührt in der doppelte Nullstelle x0 die x-Achse (von oben oder von unten), hat dort also ein Extremum. Für die Strecke zwischen x0 der anderen Nullstelle x1 gilt: Bei
x0 + (x1 - x0) /3
liegt der Wendepunkt der Funktion und bei
x0 + 2(x1 - x0)/3
das andere Extremum.
Beweis zu (1): Eine ganzrationale Funktion f dritter Ordnung hat immer genau drei komplexe Nullstellen; ist eine Nullstelle echt komplex, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl Nullstelle.
Also kann entweder zwei konjugiert komplexe Nullstellen haben (und genau eine reelle) oder aber keine echt komplexe Nullstelle (und also genau drei reelle, die allerdings nicht paarweise verschieden sein müssen, also als doppelte oder dreifache Nullstelle zusammenfallen können). Genau bei mehrfachen Nullstellen hat die Darstellung (1) mehrere gleiche Faktoren.
Einfach in faktorisierter Form aufstellen, da sind die Nullstellen ja klar ersichtlich:
f(x) = (x-2)·(x-5)·(x+3)
mfg
Frage: darf sie nur diese beiden Nullstellen haben oder auch eine dritte; darf eine der Nullstellen doppelte Nullstelle sein?
Die Funkton 3'ten Grades ist f(x)= ax³ + bx² +cx + d d.h. du brauchst 4 Bedingungen um die Gleichung aufzustellen, wir benutzen da die Matrix bzw. machen das im Kopf ich weiß ja nicht was ihr könnt
Nimmst du auch immer ganz überlegen den Helikopter, um ins Nachbarhaus zu gelangen?
Die Funktion kann noch eine beliebigen Vorfaktor haben, z.B hat
g(x) = -2(x-2)·(x-5)·(x+3)
die gleichen Nullstellen.
Wir wissen ja nicht, was für Eingeschaften die Funktion außer den Nullstellen noch haben soll.