Aufgabe mit Binomischer Formel - Erklärung benötigt?

Hallo an alle,

es wäre sehr nett, wenn mir jemand diesen Lösungsansatz zu folgender Aufgabe erläutern kann. Werde aus dem Lösungsansatz nicht schlau bzw. verstehe ihn nicht.

Die "2" Hinter den Klammern ist als Hochzahl zu verstehen.

Aufgabe:

Geben Sie Parameter c und d so an, so dass für alle x,y ∈ R (Reele Zahlen)

(2x-4y)2 -(x+y)2 =(cx-3y)(x+dy)

Beachen Sie: Die linke Seite ist die Differenz zweier Quadrate.

Lösung d)

Die dritte binomische Formel : a2 - b2 =(a+b)(a−b) ist anwendbar auf,

(2x−4y)2 - (x+y)2

anwendbar mit

a= (2x-4y) b= (x+y)

Damit gilt: Damit gilt

(2x−4y)2 −(x+y)2 =(3x−3y)(x−5y)=(cx−3y)(x+dy)

für alle x,y ∈ R , wenn c=3 d=−5 ist.

Hoffe jemand kann mir diesen Lösungsweg erklären.

Vielen Dank

Answer 1

[GuteAntwort2021]

$\left(2x-4y\right)^2-\left(x+y\right)^2=\left(cx-3y\right)\left(x+dy\right)$ $4x^2-16xy+16y^2-(x^2+2xy+y^2)\ =\ \left(cx\ -\ 3y\right)\left(x\ +\ dy\right)$ $3x^2-18xy+15y^2=(cx-3y)(x+dy)$ $3x^2-18xy+15y^2=cx^2+cdxy-3xy-3dy^2$ $3x^2-15xy+15y^2=cx^2+cdxy-3dy^2$ ........................

Spätestens an der Stelle kann man ablesen, dass c = 3 sein muss (3x² ... = cx² ...) und wenn du c mit 3 ersetzt, ergibt sich automatisch -5 für d.

Wenn du den Lösungsweg der Musterlösung verstehen willst, guck dir die dritte Zeile meiner geposteten Lösung an und klammere basierend auf der dritten binomischen Formel wieder aus:

$3x^2\ -\ 18xy\ +\ 15y^2\ =\ \left(3x-3y\right)\left(x-5y\right)$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[gauss58]

Mit diesem Zwischenschritt wird das deutlicher:

...

[(2x - 4y) + (x + y)] * [(2x - 4y) - (x + y)] =

(3x - 3y) * (x - 5y)

...

Answer 3

[Ellejolka]

ich möchte einen anderen einfacheren Weg wählen; links und rechts Klammern lösen und dann Koeffizientenvergleich.

links binomische formeln anwenden und zusammenfassen.

3x²-18xy+15y² = cx²+cdxy-3yx-3dy²

3x²-18xy+15y² = cx²+xy(cd-3)-3dy²

daraus siehst du

c = 3

cd-3=-18 → 3d-3=-18 →

d= -5