Anwendung der Integralrechnung in der Physik?

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5 Antworten

Im Prinzip ist Integralrechnung eine besondere Form der Summenbildung. Immer, wenn man einen Prozess und keinen Zustand hat, muss man einzelne Werte aufaddieren, um zu der Summe zu kommen.

Beispiel:
Ein Auto fährt nicht mit konstanter Geschwindigkeit (dann reichen die einfachen Bewegungsgesetze), sondern mit wechselnden Geschwindigkeiten. Um daraus den zurückgelegten Weg ermitteln zu können, wird integriert. Es wird der Weg zu jeweils unendlich kleinen Zeitspannen festgestellt und zur Summe dazuaddiert.

Hat man ein System, in dem einzelne Systemelemente in Wecheslwirkungen zueinander stehen, kann man das Ganze mathematisch nur über Differenzialgleichungen beschreiben. Um diese zu lösen, braucht man die Integralrechnung.


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Physikalische Systeme werden mit Differentialgleichungen beschrieben. Um Differentialgleichungen zu lösen benötigt man die Integralrechnung.

Einfache Beispiele dafür sind z.B. hier:
http://www.leifiphysik.de/mechanik/mechanische-schwingungen

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Fourier- und Laplace-Transformation. Gausssche Optik, eigentlich gibt es kaum einen Bereich, wo keine Integrale auftauchen.

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Kommentar von jorgang
15.06.2016, 16:59

Diese Frage war für mich so richtig verblüffend. Wenn man tagtäglich damit umgeht, dann fängt man an zu sortieren und nachzudenken. Vielleicht wäre es einfacher gewesen, wenn jemand gefragt hätte, in welchen Bereichen der Physik man keine Integral (oder auch Differential-) Rechnung braucht.

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1) Zunächst einmal verwendet man Integralrechnung zur Errechnung einer physikalischen Größe Y, die die Stammfunktion (also umgangssprachlich das Integral) einer anderen physikalischen Größe X ist.

Z.B.:

Errechnung der zurückgelegten Strecke x bei nicht konstanter Geschwindigkeit v.  x = Integral v dt      (t ist die Zeit)

Errechneung der Geschwindigkeit v bei nicht konstanter Beschleunigung a.

v = Integral a dt      

Errechneung der Energie E bei nicht konstanter Kraft F.

E = Integral F dx   

Errechneung der Wärmeenergie Q bei nicht konstanter Wärmekapazität C.

Q =  Integral C dT     (T ist die Temperatur)

Errechnung der Stoffmenge N einer radioaktiven Substanz  zum Zeitpunkt t

Integral 1/N dN = -Integral k dt  (k = radioaktive Zerfallssrate) 


2) Machnmal ist eine physikalische Größe auch eine multivariate Stammfunktion, d.h. ist das Integral mehrerer physikalischer Größen.

Beispiele

Errechnung der freien Energie G  bei Volumen- V, Entropie- S oder chemiscen Potentialänderungen μ.

G = Integral V dP - Integral S dT + Summe über i Integral  μ_i d N_i

(P ist Druck, N_i ist die Teilchenzahl eines Stoffes i)

Errechnung einer Stoffmenge N_n zum Zeitpunkt t, die aus einer chemischen Reaktion von Stoffen mit den Stoffmengen N_a und N_b hervorgeht.

d N_n = Integral k N_a N_b dt   (k ist eine Ratenkonstante)


3) Integration ist für die Herleitung der Zustandsgrößen thermodynamischer Ensembles wichtig.


4) Integration wird zur Berechnung der elektronischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit W (Orbitale) aus der quantenmechanischen Wellenfunktion Ψ benötigt.

W = Integral Ψ* Ψ dxdydz    (x,y,z Raumkoordinaten, Ψ* komplex konjugiertes von Ψ)

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Man benutzt das integral zum Beispiel wenn man die Arbeit berechnen will die man entlang einer strcke verrichtet.

Oder wenn man im Graphen ein v(t) Kurve hat kann man mit dem integral die zurückgelegte Strecke berechnen.

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