Annahme der Teilerfremdheit bei Beweis der Irrationalität von Wurzel 2?
Laut dem Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid , welche einfach nur den Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 nach Euklid aufzeigt, wird erwähnt, dass für die potentiellen Zahlen p und q, wobei der Quotient gleich Wurzel 2 sein soll, eine Teilerfremdheit existieren soll. Also, dass die Zahlen p und q keine gemeinsamen Teiler haben, und somit der Bruch vollständig gekürzt wurde.
Aber wo ist denn jetzt diese Teilerfremdheit mathematisch berücksichtigt? Ich meine es wurde einfach festgelegt, aber meines Wissens nach kann man doch alles Behaupten, solange man es irgendwie in die Rechnung mit ein bringt, da es sonst außerhalb des mathematischen Geschehens steht.
D.h. was wäre der Unterschied in der Rechnung, wenn man diese Annahme nicht machen würde? Würde man, wenn man es rekursiv immer wieder neu aufschreibt, wobei demnach durch zwei gekürzt wird, feststellen, dass die Zahlen egal wie oft man es rechnet immer gerade sein werden? Ist das das eigentliche Problem bei meiner Denkweise?
Vielen Dank im Voraus!
4 Antworten
Du legst das einfach fest, denn wenn es nicht so wäre, könntest du den Bruch ja so lange kürzen, bis die Teilerfremdheit erfüllt ist.
Und dann ziehst du eben solange Folgerungen, dass bei gerader Zahl auch das Quadrat bzw. bei geradem Quadrat auch die Zahl gerade sein muss, bis du zu dem Punkt kommst, dass sowohl p als auch q gerade sein müssen.
Und das ist eben ein Widerspruch zu der Annahme, die du am Anfang gemacht hast.
Sie wird ausgeschlossen, da p und q durch 2 teilbar sind; man somit einen Widerspruch zur Teilerfremheit hat.
Hast du ihn überhaupt richtig gelesen?
Das ist die Struktur des indirekten Beweises: Eine Annahme führt auf einen Widerspruch, also ist die Annahme falsch.
Brüche lassen sich immer kürzen und sobald ein Bruch vollständig gekürzt ist, sind Zähler und Nenner teilerfremd. Aus der Annahme, dass sqrt(2) rational ist, folgt also auch, dass sqrt(2) = p/q für teilerfremde p und q gilt. Der Widerspruch ergibt sich daraus, dass du zeigst, dass sowohl p als auch q durch 2 teilbar sind. Dann sind p und q jedoch gerade nicht teilerfremd (denn sie haben ja offensichtlich 2 als gemeinsamen Teiler).