Aufgaben Irrationalität beweisen?
Hallo!
Ich mag Mathematische Beweise sehr gerne, und möchte wissen, ob mir jemand eine Zahl nennen kann, bei der ich selber mal versuchen kann, die Irrationalität zu beweisen. Bei der sqrt(n) mit n != a², e und Pi kenne ich die Beweise schon. Und bitte erstmal etwas leichtes. Nicht sowas wie die Irrationalität von Gamma.
Danke!
5 Antworten
Summe (von k=0 bis ∞) über 10^(–k²)
Wir wäre es mit ein paar irrationalen Zahlen / Konstanten...
Ich versuche es mal so ungefähr nach schwäre Grad zu sotieren::
- Gelfonds Zahl (= e^pi)
- Gelfond-Schneider Konstante (= 2^{\sqrt{2}})
- Liouville Zahl (die aus den Expotentialbruch)
- Omega Konstante (die Zahl für die Gilt "omega * exp(omega) = 1")
- Komornik-Loreti Konstante
- Chaitins Omega Zahl
- Komornik-Loreti Konstante
- Eulersche Konstante (ist schon wesentlich schwerer als die darüber... Tipp: Zeige nur das es eine transzendente Zahl ist)
- Champernownes Zahl
(du kannst sogar bei allen den genannten Zahlen Transzendenz nachweisen)
PS
Wenn du dir schnell irrationale Zahlen herholen willst, dann kannst du auch einfach ein paar Brüche in die Gammafunktion einsetzen, denn sehr viele davon ergeben dann irrationale Zahlen, welche du du dann sehr schnell einschnüren kannst.
Beispiele:
PPS
Sollte ich dich damit vielleicht für ein paar coole Konstanten begeistert haben, dann kann ich dir empfehlen dich in die Eulersche Konstante und Liouville Zahl weiter einzulesen, denn die sind beider in der Zahlentheorie bedeutsam und äußerst interessant.
Die Eulersche Konstante habe ich bereits bewiesen. Die anderen Zahlen klingen sehr interessant! Ich probiere es mal mit Omega. Denn ich mag die W-Funktion sehr gerne.
Ach so. Die Euler-Mascheroni Konstante. Ich denke, da wurde es noch nicht bewiesen. Ich probiere es mal. Danke!
Eine gute Zahl, um die Irrationalität zu beweisen, ist die Wurzel aus 2. Der Beweis dafür ist recht einfach und verwendet die Methode des Widerspruchs. Ein weiteres Beispiel wäre die Wurzel aus 3.
Die Wurzeln aus 2 ist annäherungsweise 1,414213562373095048801688724209. Kann sie iwie auf paar Zehner stellen auswendig 😂😂
Die Irrationalität aller Nichtquadratzahlen größer gleich 0 habe ich schon bewiesen. Trotzdem Danke!
Frage gelesen?
Bei der sqrt(n) mit n != a², e und Pi kenne ich die Beweise schon.
Betrachte die beiden Zahlen e*π und e+π.
Betrachte, dass mindestens eine der beiden Zahlen irrational sein MUSS.
Es gibt so viele Wurzeln aus Zahlen die irrational sind.
Such dir da halt einfach eine raus. Alternativ rechnest du 1/n,187 und du bekommst auch eine irrationale Zahl.
Bzw Jeder Bruch mit einer Kommazahl unten.
BTW viel Glück in den Prüfungen
Vielen Dank. Aber ich mache keine Prüfungen. Ich bin in der siebten Klasse.
Aber warum ist a/b mit a, b Element von R immer Irrational?
Also wenn a, b auch Element von I sind, dann macht das Sinn. Aber wenn sie Element von Q sind? Dann ist die Form doch:
(x/y)/(p/q) x, y, p, q Element von Z.
Und das kann ich erweitern:
(x/y)/(p/q) = (x/y*q)/(p/q*q) = (xq/y)/p = (xq/y*y)/(p*y) = (xq)/(yp)
Und da x, y, p, q Element von Z sind, ist xq, yp auch Element von Z.
Oder liege ich falsch?
Stimmt. Und tatsächlich ist die Aussage selbst dann nicht zwangsweise korrekt, wenn a und b irrational sind.
Etwa bei a = sqrt(8) und b = sqrt(2) geht das schief.
Wenn hingegen exakt eine der beiden Zahlen irrational ist... ;)
Diese Zahl ist denke ich nicht irrational.
Da die Summe (von k=0 bis ∞) über 10^(–k) = 10^0+10^-1+10^-2+... = 1+0,1+0,01+0,001+... = 1,11111... = 10/9