Wurzel2 plus Wurzel 3 irrational?
Zeigen Sie, dass √ 2 + √ 3 irrational ist.
Kann mir da jemand helfen. Ich habe es mit Widerspruch versucht
also √ 2 + √ 3 = p/q p∈Z, q∈N, ggT(p,q)=1
quadrieren ergibt dann 5+ 2√6=p²/q²
und weiter?
4 Antworten
Wenn Wurzel(2) + Wurzel(3) rational ist, dann ist auch das Quadrat
2 + 2*Wurzel(6) + 3
rational, also auch Wurzel(6).
Dann kann man Wurzel(6) als p/q darstellen,
also 6 = p²/q².
In der Primfaktorzerlegung von p² und von q² kommen alle Primfaktoren mit geradzahligen Exponenten vor. Aber 6 = 2^1 * 3^1, also ungerade Exponenten.
Das kann nicht sein.
Wäre das ein Ansatz?
Die Summe √ 2 + √ 3 ist nur dann rational, wenn beide algebraisch voneinander abhängig sind
Nun macht man den Versuch, die algebraische Abhängigkeit von √ 2 und √ 3 zu beweisen, was zu einem Widerspruch führt und damit zum Beweis, dass √ 2 + √ 3 irrational ist.
Vielleicht hilft dir das:
Das dürfte als Beweis nicht funktionieren.
Wenn du beweisen willst, dass √2 nicht rational
ist und du mit
√2 = p/q
2 = p²/q²
anfängst, bist du schon im rationalen Bereich.
Ich mach es ja mit Widerspruch, also angenommen √ 2 + √ 3 wäre rational und daraus ja den Widerspruch, dass es nicht rational sein kann.
ist der irrationale Charakter von √2 ein Axiom oder hat das einen eigenen Beweis ?