Abstand eines Punktes von einer Geraden+ Satz des Pythagoras?
bei dem folgendem Bild bei der 2. Möglichkeit den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu berechnen, wird mit dem Satz des Pythagoras vorgegangen.
Müsste aber nicht unter der Wurzel addiert werden? Denn die Formel lautet ja a^2 + b^2 = c^2
4 Antworten
Abstand von 2 Punkten im Raum d=Wurze(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2 +(z2-z1)^2
ergibt d^2=(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2 +(z2-z1)^2
Der Punkt im Raum ist P1(x1/y2/z1)
Geradengleichung g: x=ro + r *a ergibt
x2= rox + r * ax und y2=roy + r * ay und z2=roz + r * az
in die Gleichung eingesetzt ergibt d^2(r)= b * r^2 + c *r + e
abgeleitet d^2´(r9= 0=b *2*r + c
Die Nullstelle von d^2´(r)=... ist die Stelle,wo der Abstand des Punktes P1 zur Geraden am geringsten ist.
Eingesetzt in d^2(r) und dann d=Wurzel(d^2(r) ist der Abstand d von der Geraden.
am einfachsten ist die Formel aus den Mathe-Formelbuch
d=Betrag( a/(a) kreuz (r1 -ro))
Geradengleichung r=ro + r *(a) mit a=(x/y/z)
Betrag von (a)=Wurzel (ax^2 + ay^2+az^2)
a/(a)= (ax/(a))/(ay/(a)/az/(a)
Beispiel : a=1/2/3 ergibt (a)=Wurzel (1^2 +2^2 + 3^2)=3,74...
a/(a)= 1/3,74)/(2/3,74)/3/3,74=(0,267/0,534/0,802)
d=Betrag(0,267/0,534/0802) kreuz(r1 - ro)
r1 aus den Punkt P1(x1/y1/z1) ist der Punkt,dessen Abstand von der Gerden r=ro+r*(a) berechnet werden soll.
ro=(rox/roy/roz) ist der Stützvektor (Stützpunkt) aus der geradengleichung.
3. Möglichkeit mit der Nornalengleichung der Geraden
((x - a) * n=0 hier ist n der Normalenvektor auf der geraden n=nx/ny/nz)
a=ro=rox/roy/roz)
x=(x/y/z) Schnittpunkt der Normalengleichung mit der Geraden.
Rechenweg : - den Normalenvektor ausrechnen
- in der Normalengleichung den Punkt P1(x1/y1/z1) einsetzen
a=(x1/y1/z1)
- Normalengleichung und Gerade gleichsetzen
((x/y/z) - (x1/y1/z1) * (nx/ny/nz)= (rox/roy/roz) + r * (ax/ay/az)
dies ergibt den Wert für r
Daraus kann der Schnittpunkt ermittelt werden.
Dann wieder d=Wurzel (x2 - x1)^2 +(y2-y1)^2 +(z2-z1)^2
HINWEIS : Der Weg über die Normelengleichung,bringt keinen Vorteil.Es ist besser man verwendet sofort die fertige Formel d=Betrag(a/(a) kreuz (r1-ro) oder die Formel d^2=(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 +(z2-z1)^2
Der Satz des Pythagoras ist nicht zwingend a² + b² = c².
b² + c² = a² ist ebenso ein legitimer Satz des Pythagoras - es kommt immer darauf an, welche Seiten die Katheten sind und welche Seite die Hypotenuse ist.
Wenn man a² + b² = c² umformt erhält man:
a² + b² = c²
b² = c² - a²
b = √(c² - a²)
Hier wird auch unter der Wurzel subtrahiert, aber es wird eben die Kathete berechnet und nicht die Hypotenuse.
Schau dir deine Skizze am besten nochmal an und guck, was Kathete und was Hyptenuse ist.
LG Willibergi
Stimmt! Du hast vollkommen Recht... in meiner Naivität bin ich jetzt voll drauf reingefallen...
Nein, denn allgemein lautet der Satz des Pythagoras:
Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypothenusenquadrat. Die Hypothenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, also bei Dir a.
Die Katheten sind ag und d. Daher gilt
d² + |ag|² = |a|²
und damit
d² = |a|² - |ag|²
Du hast ja gut mitgedacht! Es ist häufig nur nicht ganz so einfach herauszufinden, wie man das einfach zu merkende a² + b² = c² auf das konkrete Dreieck anwenden soll. Also welche Seite ist denn nun a, welche b und welche c?
Wenn Du Dir aber den Satz merkst als Summe Kathetenquadrate = Hypotenusenquadrat, dann wird es einfacher, weil Du nur wissen musst, dass die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüberliegt. Weil die Summe kommutativ ist (also a + b = b + a) ist es dann wurscht, welche der beiden Katheten jetzt a oder b genannt wird.
Hallo Lily674,
da würde ich dir Recht geben. Auch Aufgabenersteller können sich vertippen. Bestenfalls sprichst du morgen mal deinen Lehrer darauf an.
Danke, das Problem ist die Schularbeit ist morgen und ich hab das erst jetzt entdeckt, aber danke:)
da würde ich dir Recht geben.
Ich nicht. Die Lösung ist völlig korrekt.
Danke!!! ich glaub ich hab mich einfach verlesen😅