Frage von McXnightman, 88

Abstand einer Geraden zum Ursprung?

Wie berechnet man den (kürzesten) Abstand ener Geraden zum Koordinatenursprung.

Jedoch nicht mithilfe eines Stützpunktes an der gerade. Bei Wikipedia steht, dass die Hesse'sche Normalenform dafür geeignet ist. Ich suche also einen Normalenvektor der Geraden der auch durch den Ursprung verläuft.

Ich bin am verzweifeln und wäre sehr erfreut wenn mir das jemand an einem Beispiel erklären könnte.

z.B.: Die Gerade verläuft durch die beiden Punkte P(2,2) und Q(4,6)

In Punkt-Richtungs-Form also: g: x= (2,2)+r*(2,4)

Danke schonmal im voraus!!

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 60

Den Abstand kann man meiner Erinnerung nach über die Wurzel aus x² + y² herausfinden.

Also Wurzel(x² + y²) = Wurzel(x² + (mx+b)²)

Da dieser minimiert werden soll, bietet es sich an, die Ableitung zu bilden. Zu so später Stunde überlasse ich das WolframAlpha und setze auch schon = 0

f'(x) = 0
x = -bm/(m²+1)

Pmin(-bm/(m²+1) | f(-bm/(m²+1)))

Das Prüfen der zweiten Ableitung usw. spare ich mir mal.

Kommentar von McXnightman ,

Erstmal Danke. Können Sie mir vielleicht sagen, wie mein Prof. auf den Normalenvektor von (2,-1) gekommen ist. Da dieser Punkt genau vom Ursprung, senkrecht zu der geraden verläuft.

In der Aufgabe sind nur die 2 Punkte Q und P bekannt.

Kommentar von McXnightman ,

Ich habe, um den Normalenvektor zu bestimmen einfach die Zahlen vom Richtungsvektor vertauscht und ein vorzeichen geändert. Also zu (4,-2)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 34

Ich kenne deine Vektorkenntnisse nicht.
Aber eine einfache Art der Ermittlung wäre es, vom gegebenen Vektor aus eine Senkrechte zu errichten.
g: x = <2 ; 2> + r * <2 ; 4>                     < > sind meine Vektorklammern

Damit hast du schon den Richtungsvektor gegeben.
Senkrecht darauf steht z.B.  <4 ; -2>
Bei zweidimensionalen Vektoren kann man es schnell sehen, und das Skalarprodukt ist ersichtlich gleich Null.
Da die Orthogonale auch noch durch (0|0) gehen soll, bleibt für sie nur die Gleichung:
h: x = s * <4 ; -2>

Wenn sie sich schneiden sollen, muss ich g und h gleichsetzen:

x-Zeile:   2 + 2r = 4s
y-Zeile:   2 + 4r = -2s

Ich unterstelle, dass du weißt, wie man ein LGS ausrechnet:
                 r = -0,6
                 s = 0,2

h ist die einfachere Gleichung, daher nehme ich den Parameter s:
         0,2 * <4 ; -2> = < 0,8 ; -0,4 >       Der Schnittpunkt ist also S(0,8|-0,4).

Bei der Betragsbildung brauche ich den Punkt (0|0) nicht weiter zu berücksichtigen. Die Länge dieses Vektors ist
         d =√(0,8² + 0,4²)         [Pythagoras]

Das kann man ausrechnen und hat damit den kürzesten Abstand zum Koordinatenursprung.

Kommentar von Volens ,

Hinweis: die Vektoren <4 ; -2> und <2 ; -1> von deinem Prof sind identisch. Sie zeigen in dieselbe Richtung.
Für die Orthogomale (Normale) sind sie durch Parameteränderung beide als Richtungsvektoren nutzbar.

Antwort
von abibabo, 42

Du musst einen Normalenvektor zu deiner Geraden bestimmen. Diesen projizierst du dann vom Ursprung aus in Richtung deiner Gerade bis dieser die Gerade schneidet. Der Abstand vom Ursprung mit diesem Schnittpunkt ist dann die gesuchte Länge.

Hilft das?

abibabo.de

Kommentar von McXnightman ,

Irgendwie nicht. In meinem Fall wäre ein Normalenvektor ja (4,-2). Somit käme ich auf die Normalform g: (4,-2)*vec(x)=(4,-2)*(2,2)=4

Da die Koordinaten vom Ursprung bekanntlich (0,0) sind berechnet sich demnach der Abstand mit 4/länge des Normalenvektor(sqrt(20)). Somit komme ich auf ein Ergebnis von 0,89. Und das ist irgendwie richtig, was mir gerade beim schreiben auffällt.

Mein Professor hat bei seiner Lösung mit dem Normalenvektor (2,-1) gerechnet könntest du mir bitte Erklären wie er darauf gekommen ist.

Weil dieser Punkt verläuft genau durch den Ursprung und senkrecht zu der Geraden.

Kommentar von HanzeeDent ,

Skalarmultiplikation mit 0,5 - dabei ändert sich die Richtung nicht:

(4,-2)*0,5=(2,-1)

Wenn du die Aufgabe durch analytische Geometrie lösen willst, kannst du durch den Normalenvektor eine Gerade konstruieren, die senkrecht auf deiner Gerade steht:

n: x = (x0,y0) + s(2,-1)

Durch die 2. Bedingung, dass sie durch den Ursprung verläuft, kann man diesen als Aufhängepunkt wählen (x0 = 0 und y0 = 0)

Dann haben wir 2 Geradengleichungen, die wir gleichsetzen können, um über ein Gleichungssystem den Punkt zu berechnen, der dem Ursprung am nähesten ist.

s(2,-1) = (2,2) + r(2,4) = (2,2) + r(1,2) <-- Skalarmultiplikation

s(2,-1) + r(-1,-2) = (2,2)

(1) 2s - r = 2
(2) -s - 2r = 2

(1*) s = 1 + 0,5r
(2*) s + 2r = -2

(2**) 1 + 0,5r + 2r = -2  --> r = -6/5 --> s = 1 - 3/5 = 2/5

Jetzt s in die Geradengleichung einsetzen:

2/5*(2,-1)=(4/5,-2/5)

r in die andere einsetzen, um das Ergebnis zu überprüfen:

(2,2) - 6/5*(1,2) = (2,2) - (6/5,12/5) = (4/5,-2/5) -> q.e.d.

Da der Abstand zum Ursprung gefragt ist, kannst du die Distanz direkt über den Pythagoras bestimmen, ansonsten müsstest du den Wert noch vom jeweiligen Punkt subtrahieren:

d = sqrt((4/5)^2+(-2/5)^2) = 0,89

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