Frage von Pukinn, 23

Wie finde ich heraus auf welcher Seite einer Ebene sich ein Punkt befindet?

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit einem geometrischen Problem im dreidimensionalen Raum.

Ich habe eine Ebene in Normalenform und einen Punkt. Wie finde ich am einfachsten heraus ob sich der Punkt auf der Seite der Ebene befindet in die der Normalenvektor zeigt?

Ich probier schon eine Weile, aber komme einfach nicht drauf. Vielen Dank für die Hilfe schonmal :)

Thomas

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Hallo,

ganz einfach:

Die Normalenform der Ebene lautet E: (x-p)*n0/|n|, wobei n0 der Normalenvektor ist. Für x, also den Vektor (x/y/z) setzt Du einfach die Koordinaten des Punktes ein. Du rechnest die Geschichte aus. Das Ergebnis ist der Abstand d des Punktes von der Ebene. Ist d positiv, liegen der Punkt und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene. Ist d negativ, liegen P und der Koordinatenursprung auf der gleichen Seite.

Beispiel: E: [x-(1/-3/1)]*(1/2/2)

P: (9/4/-3)

Einsetzen von P für x:

[(9/4/-3)-(1/-3/1)]*(1/2/2)/|n|

|n| ist der Betrag des Normalenvektors, also die Wurzel aus 1²+2²+2²=Wurzel aus 9=3

Du mußt also den Normalenvektor mit 1/3 multiplizieren; so bekommst Du den Normaleneinheitsvektor (1/3)*(1/2/2)

Ausrechnen der eckigen Klammer:

(8/7/-4)*(1/2/2)*(1/3)

d bestimmen:

8/3+14/3-8/3=14/3

Der Abstand beträgt also 4,667 Einheiten. P und der Koordinatenursprung befinden sich auf unterschiedlichen Seiten der Ebene.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Pukinn ,

Danke :) Um also herauszufinden ob ein Punkt auf der gleichen Seite der Ebene ist, in die der Normalenvektor zeigt, prüfe ich erst ob der Normalenvektor in richtung des Ursprungs zeigt oder nicht. Ich rechne also p + n0, setze diesen Punkt ein und merke mit ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Dann setze ich meinen zu prüfenden Punkt ein, und vergleiche das Ergebnis mit meinem gemerkten?

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