30 grad Winkel mit dem Thaleskreis konstruieren?
ich weiß mittlerweile wie man das macht aber ich weiß nicht warum dass funktuniert wäre nett von euch wenn ihr mir das vielleicht erklären könntet HaudneiAbi und danke schonmal im voraus
2 Antworten
Schau das hochgeladene Bild an:
Die Konstruktion des 30-Grad-Winkels erfolgt so:
Man zeichne zunächst einen Kreis mit Mittelpunkt M und dazu dessen Durchmesser. Die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreisrand nenne man A bzw. B. Nun zeichne man einen weiteren Kreis um den Punkt A mit demselben Radius. Den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise nenne man C.
Sowohl die Strecke AM als auch die Strecken AC und CM sind nach dieser Konstruktion gleich lang, nämlich gleich der Länge des Radius der beiden Kreise. Damit aber ist das Dreieck AMC ein gleichseitiges Dreieck, alle seine Winkel sind daher 60 Grad groß.
Nun betrachte man das Dreieck CMB. Sowohl der Schenkel CM als auch der Schenkel MB sind Radien des ersten Kreises und somit gleich lang. Das Dreieck CMB ist daher ein gleichschenkliges Dreieck. Der Winkel CMB aber ist Nebenwinkel des Winkels AMC, der ja wie bereits weiter oben erläutert ein 60 Grad Winkel ist. Winkel und Nebenwinkel aber haben zusammen immer 180 Grad. Daraus ergibt sich, dass der Winkel CMB 180 - 60 = 120 Grad groß ist.
Für die beiden anderen Winkel des Dreiecks CMB bleiben somit noch 180 - 120 = 60 Grad übrig und da dieses Dreieck gleichschenklig ist, müssen beide Winkel gleich groß sein, nämlich jeweils 60 / 2 = 30 Grad.
Sowohl der Winkel BCM als auch der Winkel MBC sind daher 30 Grad Winkel.
Du konstruierst dabei im Grunde die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks.
Du hattest deinen Zirkel auf einen Radius r eingestellt, die Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks, dass du erhälst, ist dann 2r, die eine Kathete ist r.
Nenne nun die Grundseite a, also a=2r. Die eine Kathete ist dann a/2. Verdoppele diese auf a und zeichne damit eine neues Dreieck. Das ist dann ein gleichseitiges mit Kantenlänge a. Im gleichseitigen Dreieck sind aber alle Winkel gleich groß, und da die Winkelsumme immer gleich 180° ist, so ist dort jeder Winkel 60°.
Schau dir die Zeichnung an: Dein rechtwinkliges Dreieck aus dem Thaleskreis ist genau die eine Hälfte des gleichseitigen Dreiecks. Der eine 60°-Winkel ist dabei halbiert, also sind das 30°.