Wahrscheinlich willst Du eine einfache Antwort, der bereits empfohlene Wikipedia-Arktikel ist sehr gut. Geht man bei dem Thema ins Detail, sieht man schnell dass es immer komplizierter werden kann.

Dein Blut hat Plasma (darin befinden sich die für die Blutgruppe wichtigen Antikörper) und feste Bestandteile (Leukos, Thrombos und Erys). Die roten Blutkörperchen- also Erythrozyten haben auf ihrer Oberfläche Antigene (Oberflächeneiweiß vorstellbar als Gesicht). Haben sie nun die falschen Antigene werden Antikörper aktiviert um die Erys zu verklumpen.

Nicht bei jeder Blutübertragung wird automatisch eine andere Blutgruppe verklumpt, z.B. bei Blutgruppe 0 fehlen die Antigene auf der Ery-Oberfläche. Deshalb kann fremdes Plasma dieser Blutgruppe mit seinen Antikörpern keinen Schaden zuführen. Im Plasma der Blutgruppe 0 sind aber Antikörper gegen A und B vorhanden d.h. man darf das Plasma Leuten mit A und B Blutgruppe nicht spenden. Heute wird sehr oft ein Konzentrat aus Erythrozyten oder Plasma übertragen- es ist nicht immer eine Vollblutkonserve nötig. Um herauszufinden welche Blutgruppe passt gibts eine Tabelle für Spender und Empfänger- im Wikipedia-Artikel oder auch auf tausenden anderen Seiten zu finden.