Ich verstehe hierbei nicht, wie h und s in Verbindung stehen.

Eine Strecke nach oben nennt man umgangssprachlich normalerweise Höhe ("eine Rakete hat nach t Sekunden eine Höhe h(t) erreicht", ist gleichbedeutend mit "die Rakete hat eine Strecke s(t) nach oben zurückgelegt"). Jetzt muss man in dem Text aufpassen: In dem Text wird mit h die maximale Höhe (= Strecke bis zum höchsten Punkt der Flugbahn) bezeichnet - also diejenige Höhe (= zurückgelegte Strecke) bei welcher der nach oben geworfene Körper wieder umkehrt und beginnt wieder nach unten zu fallen. Vielleicht wäre es hier verständlicher, von h_max (= s_max) zu reden.

Wieso steht die Strecke in Relation zur Anfangshöhe?

Weil das, was da an Grundformeln steht, möglichst alle physikalischen Fälle erfassen soll. Man könnte ja auch auf einen 10 Meter hohen Sprungturm im Freibad klettern und von dort einen Ball nach oben werfen. Der Ball landet dann nicht wieder auf dem Sprungturm, sondern 10 Meter tiefer im Wasser. Auch solche Fälle muss eine Formel grundsätzlich erfassen können und daher eine Anfangshöhe h₀.

Dann wollte ich fragen, wie man auf den Ausdruck für die Wurfhöhe kommt

Das steht exakt im Text, man muss nur auch die Zeilen davor genau lesen. Es gilt für die Geschwindigkeit

Am höchsten Punkt der Flugbahn ist v(t) = 0. Und damit ist die Zeit (Steigzeit -- hier im Text t_h genannt) bis dahin:Und mit dieser Zeit t_h kannst Du dann den zurückgelegten Weg mithilfe der zweiten Gleichung für s(t_h) berechnen (was wie oben erläutert h bzw. besser h_max ist).

Was meint man zudem mit der Endgeschwindigkeit?

Am Ende fällt der Körper ja wieder auf den Boden oder - um das Beispiel von oben aufzugreifen - auf die Wasseroberfläche. Die Endgeschwindigkeit ist dann die Geschwindigkeit, mit der er "unten ankommt" oder "aufprallt".