Deine Index-Verschiebung muss falsch sein. Der letzte Term enthält nur ungerade Potenzen und die Fakultät ungerader natürlicher Zahlen. Jede Verschiebung, die daraus gerade Potenzen von x und Fakultäten gerader Zahlen macht, kann nicht stimmen.

Daher solltest Du die zu Papier bringen um aufzeigen zu können, wo der Fehler liegt.

Anmerkung: Wenn Du die Summe von n' = 0 beginnen lassen willst, dann muss
n' = n - 1 sein und damit wird aus 2n - 1 = 2·(n'+1) - 1= 2n'+2 - 1 = 2n' +1 (was wieder ungerade Zahlen sind)