Eine partielle Ableitung mit ∂f/∂x gibt es nur bei Funktionen mit mehr als einer Variablen und daher ist die Schreibweise mit ∂ auch nur solchen Funktionen vorbehalten, da damit auch implizit mitgeteilt wird, dass es sich um eine solche Funktion handelt. In diesem Sinne ist auch f'(x) niemals auf eine mehrdimensionale Funktion von ℝn→ ℝm anwendbar, da völlig unklar bliebe, welche Ableitung (nach welcher Variablen) gemeint ist (der hochgezogene Strich teilt einem Leser quasi schon mit, dass es sich um eine 1-dimensionale Funktion handelt). Das gilt auch für Vektoren (eine Ausnahme bilden hier parametrisierte Kurven γ(t) bei denen es für die Komponenten nur einen einzigen Parameter gibt und daher dann γ'(t) eindeutig ist und in Büchern dann auch häufig so geschrieben wird).
Insofern ist die Logik: Präzision in der mathematischen Sprache und Schreibweise im Hinblick auf den behandelten Gegenstand.