wieso ist omega = v * r und Omega = 2pi/T,o

omega = v * r ist schon mal falsch.

also wieso kann man die gleichzeitig anwenden?

Weil man das eine in das andere umrechnen kann, da sie sich auf dieselbe Bewegung hier beziehen. Normalerweise sind wir gewohnt, Geschwindigkeiten als Verhältnis von Strecken und Zeit, statt als Verhältnis von Winkeln und Zeit zu bestimmen. Da aber im Kreis eine Strecke über den Radius mit dem Winkel verknüpft ist, kann man das immer umrechnen.

Zu beiden Teilfragen:

Die Definition der Winkelgeschwindigkeit ist



Nun gilt aber gleichzeitig:



Setze die während eines Umlaufs zurückgelegte Strecke gleich dem Umfang eines Kreises



und die dafür benötigte Zeit gleich der Umlaufzeit,



dann berechnet sich die Bahngeschwindigkeit zu:



Setze diese T in die Definition von ω ein und man bekommt



(das passt dann auch eher zu den Einheiten (m/s) · (1/m) = 1/s)